Производная, нахождение производной

Правила дифференцирования, доказательство и примеры.


При решении задач дифференцирования приходится искать производные функций различных классов. В этой статье мы рассмотрим основные правила дифференцирования, которые будем постоянно использовать при нахождении производных. Все эти правила докажем на основе определения производной функции и обязательно остановимся на подробном решении примеров, чтобы понять принцип их применения.

При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x) дифференцируемыми на некотором промежутке X.

То есть, для любого формула справедливо формула, где формула - приращения соответствующих функций.

В другой записи формула.

К основным правилам дифференцирования относят:



таблица правил диффененцирования

Вынесение постоянного множителя за знак производной.

Докажем формулу формула. По определению производной имеем:
формула

Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому
формула

На этом доказательство первого правила дифференцирования завершено.

Пример.

Найти производную функции формула.

Решение.

Из таблицы производных для тригонометрических функций видим формула. Воспользуемся правилом вынесения множителя за знак производной:
формула

Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.

Пример.

Выполнить дифференцирование функции формула.

Решение.

По свойствам логарифмической функции можно перейти к записи формула. Осталось вспомнить производную логарифмической функции и вынести постоянный множитель:
формула

Пример.

Найти производную функции формула.

Решение.

Преобразуем исходную функцию формула.

Применяем правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы берем производную показательной функции:
формула

Производная суммы, производная разности.


Для доказательства второго правила дифференцирования формула воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.
формула

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных формула.

Пример.

Найти производную функции формула.

Решение.

Упростим вид исходной функции формула.

Используем правило производной суммы (разности): формула

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому
формула

Осталось воспользоваться таблицей производных:
формула

Производная произведения функций.

Докажем правило дифференцирования произведения двух функций формула.

Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что формула и формула (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).
формула

Что и требовалось доказать.

Пример.

Продифференцировать функцию формула.

Решение.

В данном примере формула. Применяем правило производной произведения:
формула

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:
формула

Пример.

Найти производную функции формула.

Решение.

В этом примере формула. Следовательно,
формула

Давайте рассмотрим случай нахождения производной произведения трех функций. В принципе, по этой же системе можно дифференцировать произведение и четырех, и пяти, и двадцати пяти функций.

Пример.

Выполнить дифференцирование функции формула.

Решение.

Будем исходить из правила дифференцирования произведения двух функций. В качестве функции f(x) будем считать произведение (1+x)sinx, а в качестве g(x) возьмем lnx:
формула

Для нахождения формула вновь применяем правило производной произведения:
формула

Используем правило производной суммы и таблицу производных:
формула

Подставляем полученный результат:
формула

Как видите, порой приходится применять несколько правил дифференцирования в одном примере. Сложного в этом ничего нет, главное действовать последовательно и не мешать все в кучу.

Пример.

Найти производную функции формула.

Решение.

Функция представляет собой разность выражений формула и формула, поэтому
формула

В первом выражении выносим двойку за знак производной, а ко второму выражению применяем правило дифференцирования произведения:
формула

Производная частного двух функций (производная дроби).

Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) формула. Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X.

По определению производной
формула

Пример.

Выполнить дифференцирование функции формула.

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1. Применим правило дифференцирования дроби:
формула

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:
формула

В заключении, давайте соберем все правила в одном примере.

Пример.

Найти производную функции формула, где a – положительное действительное число.

Решение.

формула

А теперь по порядку.

Первое слагаемое формула.

Второе слагаемое
формула

Третье слагаемое
формула

Собираем все вместе:
формула

Наверное, Вы заметили, что в разобранных примерах фигурировали только основные элементарные функции, связанные знаками алгебраических действий. Производные таких функций легко могут быть найдены с использованием правил дифференцирования. Однако, намного чаще нам приходится иметь дело с функциями более сложного вида.

Когда мы разберемся с производной сложной функции, то Вы сможете спокойно переходить к дифференцированию любых функций одной переменной, заданных в явном виде.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+