Решение иррациональных уравнений через ОДЗ
Очень часто частью процесса решения уравнений является нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Причины, заставляющие искать ОДЗ, могут быть разными: требуется провести преобразования уравнения, а они, как известно, проводятся на ОДЗ, выбранный метод решения подразумевает нахождение ОДЗ, осуществление проверки по ОДЗ и т.д. А в определенных случаях ОДЗ выступает не только как вспомогательный или контрольный инструмент, но и позволяет получить решение уравнения. В связи с этим, существует метод решения уравнений через ОДЗ. В этой статье мы на примерах подробно разберем, в каких случаях и каким образом этот метод применяется при решении иррациональных уравнений.
В каких случаях применяется метод решения через ОДЗ?
К методу решения уравнений через ОДЗ обращаются в двух случаях:
- когда ОДЗ есть пустое множество и
- когда ОДЗ есть конечный набор чисел.
Значит, чтобы понять, решается ли заданное иррациональное уравнение через ОДЗ, надо сначала найти область допустимых значений и посмотреть, каким множеством она является. По записи уравнения практически невозможно сказать, решается это уравнение через ОДЗ или нет.
Как проводится решение?
Понятно, что если ОДЗ для иррационального уравнения есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.
Если ОДЗ представляет собой конечный набор чисел, то несложно выяснить, какие из этих чисел являются корнями, а какие не являются, через проверку подстановкой. Те числа, которые удовлетворяют решаемому уравнения, являются корнями. Остальные - не являются корнями уравнения. Других корней быть не может, так как все остальные числа находятся за пределами ОДЗ.
Решение примеров
Рассмотрим решения двух примеров, которыми мы закроем обе ситуации: ОДЗ есть пустое множество, и ОДЗ есть конечный набор чисел.
Начнем с решения иррационального уравнения, ОДЗ для которого, есть пустое множество. Это уравнение не имеет решений.
Осталось рассмотреть случай, когда ОДЗ для иррационального уравнения представляет собой конечный набор чисел. Для примера возьмем иррациональное уравнение, ОДЗ для которого состоит из двух чисел, а подстановка показывает, что только одно из них является корнем уравнения, откуда и делается вывод, что этот корень есть единственное решение уравнения.
Можно считать, что мы разобрались с решением иррациональных уравнений через ОДЗ. Давайте продолжим изучение методов решения иррациональных уравнений материалом «Решение иррациональных уравнений «дробь равна нулю»».