Решите иррациональное уравнение

Как обычно, начинаем с подбора метода решения иррационального уравнения. Очевидно, что здесь не подходит метод возведения обеих частей в одну и ту же степень. Чтобы судить о возможности применения других методов, найдем корни квадратного трехчлена −x²+4·x+21, и при их наличии разложим квадратный трехчлен на множители. Так как коэффициент при x четный, то вычислим четвертую часть дискриминанта: D₁=2²−(−1)·21=25. Получили положительное значение, это указывает на наличие двух корней и . Таким образом, −x²+4·x+21=−(x−7)·(x+3), что позволяет переписать решаемое иррациональное уравнение в следующем виде . При этом не проявилось выражение, подходящее для введения новой переменной, так что отметаем метод введения новой переменной для решения уравнения. Также стало видно, что перенос выражения из правой части уравнения в левую не позволит получить произведение в левой части, поэтому, не получиться решить уравнение методом разложения на множители. Следовательно, остается пробовать провести решение уравнения через ОДЗ, либо прибегать к функционально-графическому методу, либо искать какой-нибудь специфический метод решения.

Найдем ОДЗ:

Вот как все обернулось: область допустимых значений состоит из двух чисел −1 и 7. Значит, корнями уравнения могут быть либо оба этих числа, либо одно из них, либо уравнение вообще не имеет корней. Подставим по очереди −1 и 7 в исходное уравнение, чтобы проверить, являются ли они корнями:

Таким образом, −1 – единственный корень иррационального уравнения .

−1.