Решить иррациональное уравнение

Каким методом будем решать это уравнение? Уединять радикалы и возводить в степень обе части уравнения? Очевидно, это не лучшая идея. Вводить новую переменную для решения уравнения? Непонятно, каким образом. Может она проявится, если осуществить преобразование уравнения, например, если преобразовать произведения под корнями в многочлены? Такое преобразование приводит к уравнению , при этом тоже не видно возможности ввести новую переменную. Может, требуются какие-либо другие преобразования? Не видно, в каком направлении их проводить. Давайте хотя бы найдем ОДЗ:

Мы видим, что область допустимых значений не столь уж обширна. Поэтому, стоит попробовать подобрать корень решаемого уравнения . На какие значения из ОДЗ стоит обратить внимание в первую очередь? Конечно на те, при которых мы можем извлечь оба корня и . Видно только одно такое значение x=1 ( и ). Проверим, является ли это значение корнем уравнения, для чего осуществим проверку подстановкой:

Так как подстановка дала верное числовое равенство, то x=1 – корень уравнения.

Стоит ли пробовать подбирать другие корни? В нашем случае это сделать непросто, а может, других корней и нет. Поэтому, лучше попробовать доказать единственность найденного корня.

Возникает необходимость обратиться к функционально-графическому методу решения уравнения. Графики функций и , отвечающих частям уравнения, строить сложно. Поэтому, будем пробовать обойтись методом решения уравнений через возрастание-убывание функций, отвечающих его частям. Найдем промежутки возрастания и убывания функций f и g:

Таким образом, функция f убывает на промежутке (−∞, −3] и возрастает на промежутке [−1/3, +∞), а функция g возрастает на промежутке [−2, −1/2] и убывает на промежутке [−1/2, 1]. Следовательно, на ОДЗ переменной x для исходного уравнения () функция f возрастает, а функция g убывает. Эти результаты и непрерывность функций f и g на указанном промежутке позволяют заключить, что иррациональное уравнение имеет не более одного решения. Значит, найденное выше решение x=1 является единственным.

1.