Использование возрастания и убывания при решении уравнений

Для начала следует разобраться, какие уравнения могут быть решены посредством использования возрастания/убывания функций, отвечающих частям уравнения.

Во-первых, это уравнения f(x)=C, где f(x) – некоторое выражение с переменной x, а C – некоторое число, причем эти уравнения должны удовлетворять следующим критериям:

• Не видно альтернативных более простых методов решения уравнения.
• ОДЗ для уравнения есть некоторый числовой промежуток (позже в этом пункте мы скажем и про уравнения, ОДЗ для которых есть не отдельный числовой промежуток, а объединение нескольких промежутков).
• Есть возможность определить корень уравнения каким-либо способом, часто путем подбора.
• Есть возможность доказать возрастание или убывание функции f.

В качестве примера приведем уравнение . Это уравнение вида f(x)=C, где , C=4. Сразу видно, что для решения этого уравнения может подойти разве что функционально-графический метод, так как переменная находится под знаками «разнородных» функций: функции извлечения корня и функции арктангенс. Причем строить график функции, отвечающей левой части уравнения, довольно сложно. Более простых привычных способов решения не видно. ОДЗ для этого уравнения определяется условием , откуда находим, что ОДЗ есть числовой промежуток . Учитывая рекомендации по определению корней уравнения, которые мы дадим в одном из следующих пунктов текущей статьи, несложно подобрать корень уравнения, им является число 1. Рекомендации по обоснованию возрастания/убывания, которые мы также дадим чуть позже, позволяют показать возрастание функции, отвечающей левой части уравнения. То есть, выполняются все критерии, которым должно удовлетворять уравнение для его решения посредством использования возрастания/убывания.

Во-вторых, через возрастание/убывание решаются уравнения f(x)=g(x), где f(x) и g(x) – это некоторые выражения с переменной x, удовлетворяющие следующим критериям:

• Не видно других более простых методов решения.
• ОДЗ для уравнения есть отдельный числовой промежуток (про уравнения, ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков, скажем чуть позже).
• Есть возможность определить корень уравнения.
• Есть возможность доказать возрастание одной из функций f или g и убывание другой.

Поясним на примере. Для этого подойдет уравнение . Это уравнение вида f(x)=g(x), где и . Здесь переменная есть в показателе степени и под знаком натурального логарифма. Это сразу существенно ограничивает набор методов, подходящих для его решения, оставляя только функционально-графический или какие-либо специфические методы. Графики здесь мало что дают в плане нахождения корней. Остается опираться лишь на свойства функций. При этом легко определить область допустимых значений переменной x для уравнения, она представляет собой числовой промежуток . Также легко подбирается корень уравнения, им является число 3, и легко обосновывается убывание функции, отвечающей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Значит, это уравнение может быть решено посредством использования возрастания/убывания.

Теперь про уравнения f(x)=C и f(x)=g(x), ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков. Если они на отдельно взятом промежутке области допустимых значений удовлетворяют записанным выше критериям, то на этом промежутке можно получить их решение посредством использования возрастания/убывания. Если это сделать на каждом промежутке области допустимых значений, то будет получено решение уравнения в целом.

И вновь обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим уравнение . Для него не просматривается простое решения привычными методами, отличными от направления функционально-графического метода, подразумевающего использование возрастания/убывания. ОДЗ для этого уравнения представляет собой не отдельно взятый числовой промежуток, а объединение двух числовых промежутков (−∞, 0) и (0, +∞). На каждом из этих промежутков несложно подобрать корни уравнения. Корнем на первом промежутке является число −8, а на втором – число 27. Также на каждом промежутке легко обосновать убывание функции, отвечающей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Значит, это уравнение может быть решено через возрастание/убывание.

То есть, решение уравнений f(x)=C и f(x)=g(x), ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков, сводится к решению этих уравнений на отдельно взятых промежутках. По этой причине метод решения можно постигать на уравнениях f(x)=C и f(x)=g(x), ОДЗ для которых представляет отдельный числовой промежуток.

К началу страницы

Метод состоит в нахождении корней решаемого уравнения любым доступным способом, часто подбором, и использовании возрастания/убывания для доказательства того, что других корней нет.

В основе метода лежат два следующих утверждения:

К началу страницы

Начнем с доказательства первого утверждения.

Пусть функция y=f(x) определена и возрастает или убывает на промежутке X, и пусть x₀ – корень уравнения f(x)=C, где C – некоторое число, причем x₀∈X. Докажем, что x₀ – единственный корень уравнения f(x)=C на промежутке X.

Предположим, что уравнение имеет еще один корень на X, отличный от x₀, обозначим его x₁. Так как x₀ и x₁ - корни уравнения f(x)=C, то числовые равенства f(x₀)=C и f(x₁)=C – верные. Осуществив почленное вычитание этих числовых равенств, получим верное числовое равенство f(x₀)−f(x₁)=0 (см. свойства числовых равенств), откуда f(x₀)=f(x₁). Но последнее равенство невозможно, так как функция f возрастающая или убывающая на X. Так методом от противного доказано, что x₀ – единственный корень.

Теперь докажем второе утверждение.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) определены на промежутке X, одна из них возрастает, пусть это будет функция f, а другая функция g – убывает, и пусть уравнение f(x)=g(x) имеет на X корень x₀. Докажем, что x₀ – единственный корень указанного уравнения на X. (Можно считать, что f – убывающая функция, а g – возрастающая, доказательство при этом аналогично).

Предположим, что уравнение f(x)=g(x) имеет еще один корень на X, отличный от x₀, обозначим его x₁. Так как корни x₀ и x₁ – корни уравнения f(x)=g(x), то f(x₀)=g(x₀) и f(x₁)=g(x₁) - верные числовые равенства. Так как корни x₀ и x₁ различные, то либо x₀<x₁, либо x₀>x₁. Разберем эти случаи по очереди.

Пусть x₀<x₁. При этом, так как функция f - возрастающая, то f(x₀)<f(x₁), откуда f(x₁)>f(x₀), а так как функция g – убывающая, то g(x₀)>g(x₁). Из неравенства f(x₁)>f(x₀) и равенства f(x₀)=g(x₀) следует, что f(x₁)>g(x₀), а из этого неравенства и неравенства g(x₀)>g(x₁) в силу свойства транзитивности (см. свойства числовых неравенств) следует, что f(x₁)>g(x₁). Полученное неравенство означает, что x₁ не является корнем уравнения f(x)=g(x), что противоречит нашему предположению.

Пусть x₀>x₁. При этом, так как функция f - возрастающая, то f(x₀)>f(x₁), откуда f(x₁)<f(x₀), а так как функция g – убывающая, то g(x₀)<g(x₁). Из неравенства f(x₁)<f(x₀) и равенства f(x₀)=g(x₀) следует, что f(x₁)<g(x₀), а из этого неравенства и неравенства g(x₀)<g(x₁) в силу свойства транзитивности следует, что f(x₁)<g(x₁). Полученное неравенство означает, что x₁ не является корнем уравнения f(x)=g(x), опять получили противоречие нашему предположению.

Так методом от противного доказано второе утверждение из предыдущего пункта.

К началу страницы

Сначала запишем алгоритмы решения уравнений f(x)=C и f(x)=g(x), ОДЗ для которых есть числовой промежуток. После этого запишем алгоритм для случаев, когда ОДЗ представляет собой объединение нескольких числовых промежутков. Разъяснения к проведению шагов будут даны в следующих пунктах этой статьи.

Алгоритм решения уравнения f(x)=C, для которого ОДЗ есть числовой промежуток, посредством использования возрастания/убывания:

• Находим ОДЗ, убеждаемся, что она представляет собой некоторый числовой промежуток.
• Определяем корень уравнения любым доступным способом.
• Доказываем возрастание или убывание функции f. Это позволит утверждать, что найденный на предыдущем шаге корень является единственным корнем решаемого уравнения.

Алгоритм решения уравнения f(x)=g(x), для которого ОДЗ есть числовой промежуток, через использование возрастания/убывания:

• Определяем ОДЗ, убеждаемся, что она представляет собой некоторый числовой промежуток.
• Определяем корень уравнения любым доступным способом.
• Доказываем возрастание одной из функций, отвечающих частям решаемого уравнения, и убывание другой. После этого можно делать вывод, что найденный на предыдущем шаге корень является единственным.

Для решения уравнений f(x)=C и f(x)=g(x), ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков, посредством использования возрастания/убывания, надо проделать шаги, аналогичные шагам записанных алгоритмов, но на каждом отдельно взятом промежутке, составляющем ОДЗ, после чего взять объединение всех найденных корней.

То есть, для решения уравнения f(x)=C через возрастание/убывание, надо

• Определить ОДЗ.
• На каждом промежутке, составляющем ОДЗ, определить корень любым доступным способом.
• На каждом промежутке доказать убывание или возрастание функции f.
• Взять объединение корней, найденных на втором шаге. Это и есть искомое решение.

А для решения уравнения f(x)=g(x) через возрастание/убывание, надо

• Определить ОДЗ.
• На каждом промежутке, составляющем ОДЗ, определить корень любым доступным способом.
• На каждом промежутке доказать убывание одной из функций f или g, и возрастание другой функции.
• Взять объединение корней, найденных на втором шаге. Это и есть искомое решение.

К началу страницы

Корень характерных уравнений, которые решаются посредством использования возрастания/убывания, либо очевиден, либо довольно легко находится подбором. Дадим рекомендации, которые обычно позволяют справиться с подбором корня.

Первая рекомендация касается случаев, когда ОДЗ для уравнения представляет собой числовой отрезок, числовой полуинтервал или числовой интервал, содержащий некоторое небольшое количество целых чисел. В этих случаях корнем уравнения часто бывает одно из целых чисел области допустимых значений или одна из границ ОДЗ. Приведем пример.

В качестве примера возьмем уравнение . Его ОДЗ есть числовой отрезок [−1/3, 1]. Подбор корня стоит начинать с границ ОДЗ и целых чисел, входящих в ОДЗ. В нашем случае это числа −1/3, 0 и 1. Осуществив проверку подстановкой, выясняем, что 1 – корень уравнения.

Переходим ко второй рекомендации по подбору корня. Корнем уравнения часто служит число, при котором находятся точные значения составляющих это уравнение выражений (корней, степеней, логарифмов, тригонометрических функций и т.д.). Примеры возьмем из первого пункта текущей статьи.

Взглянем на первое уравнение . Мы знаем точные значения арктангенса лишь семи чисел . А при каком значении переменной из этих семи мы можем извлечь корень ? Лишь при x=1. Значит, число 1 – лучший кандидат в корни уравнения. Проверка показывает, что это число действительно является корнем уравнения.

Теперь взглянем на второе уравнение . Для каких значений переменной мы можем вычислить и значение степени , и значение логарифма ? Очевидно, для x=3. Проверка подстановкой показывает, что это число есть корень уравнения.

Еще мы приводили в пример уравнение . Напомним, что ОДЗ для этого уравнения состоит из двух промежутков (−∞, 0) и (0, +∞). Здесь приходится подбирать по корню в каждом промежутке. Подбор корней целесообразно начинать с перебора целых чисел, из которых извлекается кубический корень. Это кубы целых чисел, то есть, числа ±1, ±8, ±27, ±64, … Дальше можно пробовать дроби ±1/8, ±1/27, … В нашем случае до дробей дело не доходит, так как корнем первого промежутка оказывается −8, а корнем второго промежутка оказывается число 27.

Две приведенные рекомендации позволяют подобрать корень уравнения в подавляющем большинстве случаев, когда этого вообще возможно сделать без обладания сверхспособностями.

К началу страницы

Одним из путей доказательства возрастания или убывания функции является обращение к производной (см. нахождение промежутков возрастания/убывания функции). Например, через производную можно доказать, что на ОДЗ для уравнения функция, отвечающая левой части уравнения, возрастает, а функция, отвечающая правой части, - убывает.

Однако иногда можно обойтись без обращения к производной. Разберемся когда.

В первую очередь, не обязательно обращаться к производной для доказательства возрастания/убывания, когда мы имеем дело с хорошо изученными функциями, в частности, основными элементарными. Например, нам совсем не обязательно доказывать возрастание функции y=x⁷ на промежутке (−7, 1) через производную, мы и так прекрасно знаем, что эта степенная функция возрастает на всей области определения, значит, она возрастает и на указанном промежутке.

Также для обоснования возрастания/убывания удобно привлекать свойства возрастающих и убывающих функций. Перечислим основные свойства, имеющие непосредственное отношение к нашей теме:

• Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на некотором числовом промежутке X, то функция y=f(x)+C, где C – некоторое число, тоже возрастает (убывает) на X. Приведем пример использования записанного свойства. Допустим, нас интересует, как ведет себя функция y=arccosx−4 на интервале (−0,5, 0,1). Мы знаем, что функция y=arccosx убывает на всей области своего определения [−1, 1], значит, она убывает и на интервале (−0,5, 0,1). Тогда, оперевшись на записанное свойство, мы можем утверждать, что функция y=arccosx−4 тоже убывает на (−0,5, 0,1).
• Если функция y=f(x) возрастает на числовом промежутке X, то функция y=k·f(x) при k>0 возрастает на X, а при k<0 убывает на X. Если функция y=f(x) убывает на числовом промежутке X, то функция y=k·f(x) при k>0 убывает на X, а при k<0 возрастает на X. Приведем пример. Допустим, столкнувшись с задачей решить некоторое уравнение, мы пришли к выводу, что оно может быть решено посредством использования возрастания/убывания. Нашли ОДЗ для этого уравнения, ею оказался промежуток [0, +∞). Подобрали корень – число 9. Доказали, что функция, отвечающая левой части уравнения возрастает на множестве [0, +∞). И осталось доказать, что функция , отвечающая правой части уравнения, убывает на [0, +∞). Как это сделать с использованием записанного свойства? Очень просто. Мы знаем, что функция - возрастает на [0, +∞). Значит, в силу записанного свойства, функция убывает на [0, +∞).
  • Следствие. Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на X, то функция y=−f(x) убывает (возрастает) на X. Например, степенная функция убывает на промежутке (0, +∞), значит, функция возрастает на этом промежутке (0, +∞).
• Если функции y=f₁(x) и y=f₂(x) возрастающие (убывающие) на промежутке X, то функция y=f₁(x)+f₂(x) – возрастающая (убывающая) на X. Это свойство естественным образом распространяется на три и большее количество функций. Для удобства запоминания условно можно считать, что сумма возрастающих функций есть возрастающая функция, а сумма убывающих – убывающая функция. Например, функция y=x+x³+x⁷ – возрастающая на множестве R, так как каждая из функций y=x, y=x³, y=x⁷ возрастает на R. Другой пример: - убывающая на промежутке (0, +∞) как сумма убывающей показательной функции и убывающей логарифмической функции .
• Следующее свойство относится к сложным функциям. Приведем его условную формулировку, так как она хорошо запоминается из-за схожести с правилами умножения чисел с разными знаками. Возрастающая от возрастающей и убывающая от убывающей есть функция возрастающая, а возрастающая от убывающей и убывающая от возрастающей есть функция убывающая. Здесь придется привести несколько примеров. Для начала рассмотрим функцию и определим ее поведение на промежутке [3, 9]. Мы имеем дело со сложной функцией. Внутренняя функция – это логарифмическая функция , внешняя функция – это степенная функция . Так как основание логарифмической функции меньше единицы, то она убывает на всей своей области определения. Так как показатель степенной функции равен −1/2, то функция убывает на своей области определения. Тогда функция возрастает на своей области определения как убывающая от убывающей. В частности, она возрастает на интересующем нас промежутке [3, 9]. Другой пример. Как ведет себя функция ? Убывает как возрастающая от возрастающей от убывающей.
  • Следствие. Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на некотором числовом промежутке X и не обращается на нем в нуль, то функция y=1/f(x) убывает (возрастает) на X. Например, функция y=1/arcctgx – возрастает на всей области определения, так как функция y=arcctgx на своей области определения убывает и не обращается в нуль.

Умелое использование перечисленных свойств в соответствующих случаях дает возможность чуть ли не с одного взгляда на функцию определять ее возрастание или убывание.

Наконец, иногда для обоснования возрастания или убывания функции удобно использовать не производную, а определение возрастающей и убывающей функции в купе со свойствами верных числовых неравенств. Для примера обоснуем, что функция - возрастает на промежутке . Нам хорошо известно поведение функций и y=tgx, и мы можем сразу сказать, что на указанном промежутке они возрастают. Пусть x₁ и x₂ два числа из промежутка , причем x₁<x₂. Тогда, в силу возрастания функций и y=tgx, верны числовые неравенства и tgx₁<tgx₂. Также мы знаем, что функции и y=tgx на промежутке принимают только положительные значения, значит , tgx₁>0, tgx₂>0. Все это позволяет нам опереться на свойство умножения верных числовых неравенств одинакового смысла (см. свойства числовых неравенств), почленно перемножить неравенства и tgx₁<tgx₂, что дает верное числовое неравенство . Из этого неравенства и определения возрастающей функции следует, что функция возрастает на промежутке .

К началу страницы

На страницах школьных учебников алгебры, начиная с 9 класса, встречается немало уравнений, решенных посредством обращения к возрастанию/убыванию соответствующих функций. В 9 классе изучаются степенные функции с натуральным показателем, после чего, естественно, показывается применение степенных функций и их свойств к решению уравнений. В этом свете в учебнике Мордковича представлено решение уравнения x⁵=3−2·x сначала графическим методом, затем – методом, предполагающим использование возрастания/убывания, причем сначала приведено утверждение, на котором базируется метод, с доказательством [1, с.120-121]. С решением этого уравнения все просто: легко подбирается корень x=1, очевидно возрастание степенной функции y=x⁵ и убывание линейной функции y=3−2·x, откуда следует, что найденный корень является единственным.

В учебнике для 10 классов в рамках разговора про обратные тригонометрические функции приводится решение уравнения [2, с. 163]. Там к возрастанию и убыванию обращаются для строгого обоснования единственности корня x=1, который находится графически. Позже изучается производная и ее применение к исследованию функций на монотонность. Под эту тему приходится кстати уравнение 5·cosx+sin(4·x)−10·x=x³+5 [2, с. 354]. Оно решается посредством использования возрастания/убывания: корень x=1 легко подбирается, возрастание функции, отвечающей правой части уравнения, очевидно, а убывание функции, отвечающей левой части уравнения, доказывается через производную, так доказывается единственность найденного корня. Решение более сложного уравнения , в котором для доказательства убывания/возрастания привлекается производная, можете посмотреть здесь.

В 11 классе в арсенал учащихся добавляются степенные функции с дробным показателем и иррациональным показателем, показательные и логарифмические функции. Естественно, там же встречаются соответствующие уравнения, решение которых завязано на использовании свойств этих функций, например, , и lgx=11−x [3, с. 62, 93, 111]. Они являются типичными представителями уравнений, которые решаются через подбор корня и доказательство его единственности через обоснование возрастания одной из функций, отвечающих его частям, и убывание другой.

Давайте покажем полное решение одного из уравнений, которые мы приводили в пример в первом пункте этой статьи.