Использование возрастания и убывания при решении иррациональных уравнений

Разбираемый метод является одним из направлений функционально-графического метода решения уравнений. Как известно, к функционально-графическому методу целесообразно прибегать лишь тогда, когда другие методы решения оказываются бессильными. Следовательно, интересующий нас в рамках этой статьи метод стоит использовать лишь тогда, когда не видно других методов решения. Кроме этого, стоит учитывать и другие моменты, о которых мы сейчас скажем.

Через возрастание/убывание обычно решают иррациональные уравнения f(x)=C и f(x)=g(x), где f(x) и g(x) – это некоторые выражения, а C - некоторое число, для которых ОДЗ есть некоторый числовой промежуток, и которые удовлетворяют следующим условиям:

• для уравнений f(x)=C
  • просматривается возможность доказать возрастание или убывание функции f,
  • легко определяется корень уравнения (часто, путем подбора),
• для уравнений f(x)=g(x)
  • есть возможность доказать возрастание одной из функций f или g и убывание другой,
  • довольно просто определить корень уравнения.

Например, иррациональное уравнение стоит решать именно через возрастание/убывание. Действительно. Во-первых, не видно альтернативных методов решения. Во-вторых, ОДЗ есть числовой отрезок [−1, 4]. В-третьих, несложно обосновать убывание функции, отвечающей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Наконец, легко подобрать корень. Детальное решение этого уравнения мы рассмотрим в последнем пункте этой статьи.

Через возрастание/убывание можно решать и иррациональные уравнения, ОДЗ для которых представляет собой объединение нескольких числовых промежутков. В этом случае нужно провести решение отдельно на каждом числовом промежутке, и объединить полученные решения.

К началу страницы

В статье «Решение уравнений через возрастание/убывание» приведено детальное описание метода с его обоснованием, рекомендациями по обоснованию возрастания и убывания, рекомендациями по определению корня и др. Здесь мы ограничимся перечислением самых главных положений метода и запишем алгоритмы.

Метод базируется на двух следующих утверждениях:

Приведенные утверждения позволяют записать два алгоритма решения уравнений. Первый алгоритм - для уравнений f(x)=C, второй - для уравнений f(x)=g(x).

Алгоритм решения уравнения f(x)=C, для которого ОДЗ есть числовой промежуток, посредством использования возрастания/убывания:

• Находим ОДЗ, убеждаемся, что она представляет собой некоторый числовой промежуток.
• Определяем корень уравнения любым доступным способом.
• Доказываем возрастание или убывание функции f. Это позволит утверждать, что найденный на предыдущем шаге корень является единственным корнем решаемого уравнения.

Алгоритм решения уравнения f(x)=g(x), для которого ОДЗ есть числовой промежуток, через использование возрастания/убывания:

• Определяем ОДЗ, убеждаемся, что она представляет собой некоторый числовой промежуток.
• Определяем корень уравнения любым доступным способом.
• Доказываем возрастание одной из функций, отвечающих частям решаемого уравнения, и убывание другой. После этого можно делать вывод, что найденный на предыдущем шаге корень является единственным.

Для решения уравнений, ОДЗ для которых есть объедиение нескольких числовых промежутков, нужно на каждом отдельно взятом промежутке действовать по одному из записанных выше алгоритмов, после чего объединить полученные решения.

К началу страницы

Разберем, как метод решения иррациональных уравнений через возрастание/убывание используется на практике.

Начнем с решения иррационального уравнения, которое мы приводили в пример в первом пункте этой статьи. Оно является типичным представителем класса уравнений, которые решаются через возрастание/убывание. Его решение проводится по следующей схеме: находится ОДЗ, доказывается возрастание функции, отвечающей правой части уравнения, убывание функции, соответствующей левой части уравнения, и из ОДЗ переменной для уравнения подбирается корень, который является единственным.

Следующее иррациональное уравнение тоже приходится решать функционально-графическим методом. Корень уравнения находится легко, как и в предыдущем примере, но здесь возрастание одной функции и убывание другой функции приходится доказывать с использованием производной.