Функционально-графический метод решения уравнений

Функционально-графический метод является, пожалуй, самым красивым и наглядным из общих методов решения уравнений. Это объясняется тем, что он подразумевает использование функций, их свойств и графиков. В этой статье мы дадим краткий обзор трех основных направлений функционально-графического метода:

  • Первое направление базируется на использовании графиков функций, отвечающих частям уравнения.
  • Второе направление основано на использовании свойств возрастающих и убывающих функций.
  • Третье направление функционально-графического метода связано с ограниченностью функций, отвечающим частям уравнения.

Материал этой статьи перекликается с информацией, приведенной в школьных учебниках, например, [1, с. 216-218]. Но здесь мы еще дополним этот материал ссылками на очень подробное описание всех направлений функционально-графического метода, включающее обоснование методов, графические иллюстрации, алгоритмы и решения характерных уравнений.

Графический метод

Решение уравнений графическим методом предполагает использование графиков функций, отвечающих частям уравнения, для определения количества корней уравнения, их приближенных, а в некоторых случаях и точных значений. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций.

Например, графический метод позволяет определить, что уравнение имеет два корня и указать их значения ·2 и 1. Все это видно по чертежу, на котором в одной системе координат построены графики функций и :

С графическим методом связан ряд нюансов, касающихся сложности построения функций в общем случае, близости графиков на некоторых участках, приблизительности определяемых по графикам результатов и т.д. Все они разобраны в отдельной статье «Графический метод решения уравнений». Там же приведено обоснование метода, алгоритмы и примеры решения характерных уравнений с детальным пояснением хода решения.

К началу страницы

Одна функция убывает, другая - возрастает

Идея этого направления функционально-графического метода решения уравнений в следующем: если на некотором числовом промежутке X одна из функций y=f(x) и y=g(x) убывает, а другая – возрастает, то на промежутке X уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один единственный корень. Этот метод в основном применяется для обоснования вывода об отсутствии корней уравнения, который получен каким-либо методом, например, графическим, или для обоснования единственности корня, который был найден каким-либо способом, часто путем подбора.

Например, при помощи рассматриваемого метода можно решить уравнение . Его корень несложно подобрать, им является число 1. При этом функция , отвечающая левой части уравнения, возрастающая, а функция , соответствующая правой части уравнения, убывающая. Поэтому, подобранный корень является единственным.

Решение других характерных примеров, обоснование метода, рекомендации по подбору корня и по обоснованию возрастания/убывания функций Вы найдете в этой статье.

К началу страницы

Метод оценки

Решение уравнения методом оценки предполагает получение оценок значений выражений, отвечающих частям уравнения, с целью обосновать на их основе отсутствие корней уравнения или перейти к системе более простых уравнений.

Так метод оценки позволяет сделать вывод, что уравнение не имеет решений. Действительно, для частей этого уравнения справедливы следующие оценки и , из них следует, что равенство не достигается ни при каких значениях переменной.

А для уравнения можно получить такие оценки значений его частей: и . Они позволяют перейти от исходного уравнения к равносильной ему системе уравнений , из которой находится единственный корень уравнения .

Переход, осуществленный в предыдущем примере, базируется на следующем утверждении:

Утверждение

Уравнение g(x)=h(x), на ОДЗ для которого значения одного из выражений f(x) и g(x) не больше некоторого числа C, а значения другого – не меньше числа C (пусть g(x)≤C, h(x)≥C), равносильно системе уравнений .

Доказательство этого утверждения, а также доказательства других утверждений, на которых базируется метод оценки, вместе с рекомендациями по получению оценок и решениями характерных примеров, приведены в статье «Метод оценки».

К началу страницы