Решить иррациональное уравнение методом введения новой переменной

Вспоминаем алгоритм предложенного метода решения:

• Вводится новая переменная g(x)=t.
• Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
  • если уравнение не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
  • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
• Осуществляется возврат к старой переменной.
• И решается составленное уравнение или совокупность, что дает искомое решение исходного уравнения.

Итак, начинаем с введения новой переменной. В нашем случае очевидно, что нужно принять . Это позволяет от исходного иррационального уравнения перейти к уравнению t²+4·t+3=0.

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение t²+4·t+3=0. Проведем решение через дискриминант, а точнее через четвертую часть дискриминанта, так как коэффициент при переменной t четный:

Уравнение с новой переменной решено, оно имеет два корня −3 и −1.

Переходим к третьему шагу алгоритма метода введения новой переменной – к обратной замене. Составим совокупность. Она будет содержать два уравнения по числу корней уравнения, решенного на предыдущем шаге. Составляются уравнения совокупности так: берем выражение, которое мы заменяли на первом шаге, то есть, , и по очереди приравниваем его к корням, найденным выше, то есть, к −3 и −1. Имеем .

Остается решить совокупность. Очевидно, что ни первое, ни второе уравнение совокупности решений не имеет. Действительно, корень четной степени по определению есть число неотрицательное, и он не может быть равен отрицательному числу (при необходимости смотрите решение иррациональных уравнений методом оценки). Следовательно, не имеет решений и совокупность этих уравнений. Отсюда делаем вывод, что и исходное иррациональное уравнение не имеет решений.

нет корней.