Математика на cleverstudents.ru

Векторы, действия с векторами

Координаты вектора в декартовой системе координат.

Введение прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве позволяет нам описывать геометрические фигуры вместе с их свойствами с помощью уравнений и неравенств, то есть, использовать методы алгебры в геометрических задачах. Более того, мы можем привязать векторы к заданной системе координат. Это значительно расширит наши возможности при решении примеров.

В этой статье мы дадим понятие координат вектора в заданной системе координат и выясним связь координат точки с координатами ее радиус-вектора.

Понятие координат вектора в прямоугольной системе координат.

Для начала рекомендуем ознакомиться с материалом статьи прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.

Зададим прямоугольную декартову систему координат Oxy на плоскости и отложим от начала координат векторы и , направление которых совпадает с положительными направлениями осей Ox и Oy соответственно, а длина вектора и длина вектора равна единице.

Теперь от начала координат отложим произвольный вектор . В силу геометрического определения операций над векторами, вектор можно представить в виде , причем коэффициенты и определяются единственным образом, что легко доказывается методом от противного.

Координаты вектора в данной системе координат будем записывать через запятую в круглых скобках, отделяя их от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись означает, что вектор имеет координаты в заданной системе координат Oxy и раскладывается по координатным векторам и как .

Обратите внимание: порядок записи координат имеет значение! Вектор с координатами отличен от вектора .

Очевидно , так как разложения координатных векторов имеют вид .

Нулевой вектор на плоскости имеет координаты равные нулю , так как .

Пусть векторы и равны. Тогда они совпадут, если их отложить от начала координат. Следовательно, их разложения по координатным векторам будут иметь один и тот же вид. Поэтому , то есть, соответствующие координаты равных векторов равны.

Координаты противоположного вектора противоположны соответствующим координатам вектора , то есть, .

Аналогично определяются координаты вектора в прямоугольной системе координат, заданной в трехмерном пространстве: вводится тройка координатных векторов , произвольный вектор раскладывается по ним единственным образом как , а коэффициенты этого разложения называются координатами вектора в данной системе координат.

Координатные векторы в трехмерном пространстве имеют координаты , координаты нулевого вектора равны нулю , соответствующие координаты равных векторов равны , а координаты противоположного вектора противоположны соответствующим координатам вектора , то есть, .

Координаты радиус-вектора точки.

А сейчас остановимся на очень важном моменте - покажем связь координат точки и координат вектора в данной системе координат.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости задана произвольная точка .

Выясним, какие координаты имеет радиус-вектор точки в данной системе координат.

Вектор представляется в виде суммы , где точки и есть проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (при необходимости смотрите статью проекция точки на прямую), а и - координатные векторы, следовательно, вектор имеет координаты в данной системе координат. Другими словами, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки разлагается по координатным векторам как , следовательно, .

Некогда разбираться?

Закажите решение