Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Координаты вектора в декартовой системе координат.


Введение прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве позволяет нам описывать геометрические фигуры вместе с их свойствами с помощью уравнений и неравенств, то есть, использовать методы алгебры в геометрических задачах. Более того, мы можем привязать векторы к заданной системе координат. Это значительно расширит наши возможности при решении примеров.

В этой статье мы дадим понятие координат вектора в заданной системе координат и выясним связь координат точки с координатами ее радиус-вектора.


Понятие координат вектора в прямоугольной системе координат.

Для начала рекомендуем ознакомиться с материалом статьи прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.

Зададим прямоугольную декартову систему координат Oxy на плоскости и отложим от начала координат векторы формула и формула, направление которых совпадает с положительными направлениями осей Ox и Oy соответственно, а длина вектора формула и длина вектора формула равна единице.

Определение.

Векторы формула и формула называются координатными векторами данной системы координат.

Теперь от начала координат отложим произвольный вектор формула. В силу геометрического определения операций над векторами, вектор формула можно представить в виде формула, причем коэффициенты формула и формула определяются единственным образом, что легко доказывается методом от противного.

изображение

Определение.

Представление вектора формула в виде формула называется разложением вектора формула по координатным векторам формула и формула на плоскости.

Определение.

Коэффициенты формула и формула называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат будем записывать через запятую в круглых скобках, отделяя их от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись формула означает, что вектор формула имеет координаты формула в заданной системе координат Oxy и раскладывается по координатным векторам формула и формула как формула.

Обратите внимание: порядок записи координат имеет значение! Вектор с координатами формула отличен от вектора формула.

Очевидно формула, так как разложения координатных векторов имеют вид формула.

Нулевой вектор формула на плоскости имеет координаты равные нулю формула, так как формула.

Пусть векторы формула и формула равны. Тогда они совпадут, если их отложить от начала координат. Следовательно, их разложения по координатным векторам будут иметь один и тот же вид. Поэтому формула, то есть, соответствующие координаты равных векторов равны.

Координаты противоположного вектора формула противоположны соответствующим координатам вектора формула, то есть, формула.

Аналогично определяются координаты вектора в прямоугольной системе координат, заданной в трехмерном пространстве: вводится тройка координатных векторов формула, произвольный вектор формула раскладывается по ним единственным образом как формула, а коэффициенты этого разложения формула называются координатами вектора формула в данной системе координат.

Координатные векторы в трехмерном пространстве имеют координаты формула, координаты нулевого вектора равны нулю формула, соответствующие координаты равных векторов равны формула, а координаты противоположного вектора формула противоположны соответствующим координатам вектора формула, то есть, формула.

Координаты радиус-вектора точки.


А сейчас остановимся на очень важном моменте - покажем связь координат точки и координат вектора в данной системе координат.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости задана произвольная точка формула.

Определение.

Вектор формула называется радиус-вектором точки М.

Выясним, какие координаты имеет радиус-вектор точки в данной системе координат.

Вектор формула представляется в виде суммы формула, где точки формула и формула есть проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (при необходимости смотрите статью проекция точки на прямую), а формула и формула - координатные векторы, следовательно, вектор формула имеет координаты формула в данной системе координат. Другими словами, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

изображение

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки формула разлагается по координатным векторам формула как формула, следовательно, формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+