Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Векторы на плоскости и в пространстве - основные определения.


В этой статье мы дадим определение вектора с точки зрения геометрии, а также основные сопутствующие понятия. На плоскости и в пространстве вектор является полноценным геометрическим объектом, то есть, имеет вполне реальные очертания, которые Вы увидите на приведенных графических иллюстрациях.

Определение.

Вектор – это направленный отрезок прямой.

То есть, в качестве вектора мы принимаем отрезок на плоскости или в пространстве, считая одну из его граничных точек началом, другую – концом.


Для обозначения векторов будем использовать строчные латинские буквы со стрелочкой над ними, например формула. Если заданы граничные точки начала и конца отрезка, к примеру А и В, то вектор будем обозначать как формула.

Определение.

Нулевой вектор формула – это любая точка плоскости или пространства.

Будем считать, что нулевому вектору можно придать любое направление на плоскости и в пространстве.

формула

Определение.

Длина вектора формула - это неотрицательное число, равное длине отрезка АВ.

Длину вектора формула будем обозначать как формула.

Так как обозначение длины вектора в точности совпадает со знаком модуля, то можно услышать, что длину вектора называют модулем вектора. Все же рекомендуем использовать термин "длина вектора". Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение.

Два вектора называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение.

Два вектора называют неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.


Определение.

Два коллинеарных вектора формула и формула называют сонаправленными, если их направления совпадают и обозначают формула.

Определение.

Два коллинеарных вектора формула и формула называют противоположно направленными, если их направления противоположны и обозначают формула.

Будем считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым другим вектором.

формула

Определение.

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны.

Определение.

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

формула

Понятие равных векторов дает нам возможность рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Другими словами, мы имеем возможность заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть формула и формула два произвольных вектора на плоскости или в пространстве. Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы формула и формула. Лучи OA и OB образуют угол формула.

Определение.

Угол формула называется углом между векторами формула и формула.

формула

Угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или формула радиан).

Определение.

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам (или формула радиан).

На этом обзор основных определений закончен.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+