Векторное произведение - определения, свойства, формулы, примеры и решения.
В этой статье мы подробно остановимся на понятии векторного произведения двух векторов. Мы дадим необходимые определения, запишем формулу для нахождения координат векторного произведения, перечислим и обоснуем его свойства. После этого остановимся на геометрическом смысле векторного произведения двух векторов и рассмотрим решения различных характерных примеров.
Определение векторного произведения.
Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов 
в трехмерном пространстве.
Отложим векторы от одной точки. В зависимости от направления вектора 
тройка может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора на то, как происходит кратчайший поворот от вектора 
к 
. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой, в противном случае – левой.
Теперь возьмем два не коллинеарных вектора и . Отложим от точки А векторы 
и 
. Построим некоторый вектор 
, перпендикулярный одновременно и 
и 
. Очевидно, что при построении вектора мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).
В зависимости от направления вектора 
упорядоченная тройка векторов может быть правой или левой.
Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Определение.
Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что
и коллинеарны; и вектору (
); и на синус угла между ними (
); ориентирована так же, как и заданная система координат.
Векторное произведение векторов и обозначается как 
.
Координаты векторного произведения.
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и .
Определение.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов 
и 
есть вектор 
, где 
- координатные векторы.
Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.
Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:
Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):
Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете посмотреть в книге, указанной в конце статьи.
Свойства векторного произведения.
Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы , то на основании свойств определителя легко обосновываются следующие свойства векторного произведения:
-
антикоммутативность
;
-
свойство дистрибутивности
или 
;
-
сочетательное свойство
или 
, где 
- произвольное действительное число.
Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.
По определению 
и 
. Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, 
, что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.
Векторное произведение – примеры и решения.
В основном встречаются три типа задач.
В задачах первого типа заданы длины двух векторов и угол между ними, а требуется найти длину векторного произведения. В этом случае используется формула .
Пример.
Найдите длину векторного произведения векторов и , если известно 
.
Решение.
Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов и равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, поэтому, 
.
Ответ:
.
Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты заданных векторов и .
Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов и , а их разложения по координатным векторам вида 
и 
, или векторы и могут быть заданы координатами точек их начала и конца.
Рассмотрим характерные примеры.
Пример.
В прямоугольной системе координат заданы два вектора 
. Найдите их векторное произведение.
Решение.
По второму определению векторное произведение двух векторов в координатах записывается как:
К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель
Ответ:
.
Пример.
Найдите длину векторного произведения векторов 
и 
, где - орты прямоугольной декартовой системы координат.
Решение.
Сначала найдем координаты векторного произведения 
в заданной прямоугольной системе координат.
Так как векторы 
и имеют координаты 
и 
соответственно (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат), то по второму определению векторного произведения имеем
То есть, векторное произведение имеет координаты 
в заданной системе координат.
Длину векторного произведения находим как корень квадратный из суммы квадратов его координат (эту формулу длины вектора мы получили в разделе нахождение длины вектора):
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек 
. Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный и одновременно.
Решение.
Векторы и имеют координаты 
и 
соответственно (смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Если найти векторное произведение векторов и , то оно по определению является вектором, перпендикулярным и к и к , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его
Ответ:
- один из перпендикулярных векторов.
В задачах третьего типа проверяется навык использования свойств векторного произведения векторов. После применения свойств, применяются соответствующие формулы.
Пример.
Векторы и перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения 
.
Решение.
По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать
В силу сочетательного свойства вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении:
Векторные произведения 
и 
равны нулю, так как 
и 
, тогда 
.
Так как векторное произведение антикоммутативно, то 
.
Итак, с помощью свойств векторного произведения мы пришли к равенству 
.
По условию векторы и перпендикулярны, то есть угол между ними равен 
. То есть, у нас есть все данные для нахождения требуемой длины
Ответ:
.
Геометрический смысл векторного произведения.
По определению длина векторного произведения векторов равна 
. А из курса геометрии средней школы нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма со сторонами 
и 
и углом между ними, равным 
. В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.
Пример.
В прямоугольной декартовой системе координат дан параллелограмм ABCD, 
. Используя векторное произведение, определите площадь треугольника АВD и площадь параллелограмма АВCD.
Решение.
Обозначим площадь треугольника АВD через 
, а площадь параллелограмма 
. В геометрическом смысле длина векторного произведения 
равна площади параллелограмма АВCD, то есть, 
, следовательно, 
. Итак, решение задачи свелось к нахождению длины векторного произведения.
Для этого сначала определяем координаты векторов и 
:
Теперь по их координатам находим векторное произведение
Вычисляем длину векторного произведения по его координатам 
.
Таким образом, 
и 
.
Ответ:
.
Приложение векторного произведения в механике.
В механике с помощью векторного произведения вычисляется момент силы относительно точки пространства.
Определение.
Моментом силы 
, приложенной к точке B, относительно точки А называется векторное произведение 
.
Пример.
В прямоугольной декартовой системе координат даны точки 
. К точке В приложена сила 
. Найти 
- момент силы относительно точки А.
Решение.
Вектор имеет координаты 
. По определению
Ответ:
.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Некогда разбираться?