Векторное произведение - определения, свойства, формулы, примеры и решения.

В этой статье мы подробно остановимся на понятии векторного произведения двух векторов. Мы дадим необходимые определения, запишем формулу для нахождения координат векторного произведения, перечислим и обоснуем его свойства. После этого остановимся на геометрическом смысле векторного произведения двух векторов и рассмотрим решения различных характерных примеров.

Определение векторного произведения.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов формула в трехмерном пространстве.

Отложим векторы формула от одной точки. В зависимости от направления вектора формула тройка формула может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора формула на то, как происходит кратчайший поворот от вектора формула к формула. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов формула называется правой, в противном случае – левой.

изображение

Теперь возьмем два не коллинеарных вектора формула и формула. Отложим от точки А векторы формула и формула. Построим некоторый вектор формула, перпендикулярный одновременно и формула и формула. Очевидно, что при построении вектора формула мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

изображение

В зависимости от направления вектора формула упорядоченная тройка векторов формула может быть правой или левой.

Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение.

Векторным произведением двух векторов формула и формула, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор формула, что

  • он является нулевым, если векторы формула и формула коллинеарны;
  • он перпендикулярен и вектору формула и вектору формула (формула);
  • его длина равна произведению длин векторов формула и формула на синус угла между ними (формула);
  • тройка векторов формула ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторное произведение векторов формула и формула обозначается как формула.

Координаты векторного произведения.

Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и .

Определение.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов формула и формула есть вектор формула, где формула - координатные векторы.

Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты формула, во второй строке находятся координаты вектора формула, а в третьей – координаты вектора формула в заданной прямоугольной системе координат:
формула

Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):
формула

Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете посмотреть в книге, указанной в конце статьи.

Свойства векторного произведения.

Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы формула, то на основании свойств определителя легко обосновываются следующие свойства векторного произведения:

  1. антикоммутативность формула;
  2. свойство дистрибутивности формула или формула;
  3. сочетательное свойство формула или формула, где формула - произвольное действительное число.


Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению формула и формула. Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, формула, что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения.

В основном встречаются три типа задач.

В задачах первого типа заданы длины двух векторов и угол между ними, а требуется найти длину векторного произведения. В этом случае используется формула формула.

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов формула и формула, если известно формула.

Решение.

Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов формула и формула равна произведению длин векторов формула и формула на синус угла между ними, поэтому, формула.

Ответ:

формула.

Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты заданных векторов формула и формула.

Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов формула и формула, а их разложения по координатным векторам вида формула и формула, или векторы формула и формула могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим характерные примеры.

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора формула. Найдите их векторное произведение.

Решение.

По второму определению векторное произведение двух векторов в координатах записывается как:
формула

К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель
формула

Ответ:

формула.

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов формула и формула, где формула - орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение.

Сначала найдем координаты векторного произведения формула в заданной прямоугольной системе координат.

Так как векторы формула и формула имеют координаты формула и формула соответственно (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат), то по второму определению векторного произведения имеем
формула

То есть, векторное произведение формула имеет координаты формула в заданной системе координат.

Длину векторного произведения находим как корень квадратный из суммы квадратов его координат (эту формулу длины вектора мы получили в разделе нахождение длины вектора):
формула

Ответ:

формула.

Пример.

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек формула. Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный формула и формула одновременно.

Решение.

Векторы формула и формула имеют координаты формула и формула соответственно (смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Если найти векторное произведение векторов формула и формула, то оно по определению является вектором, перпендикулярным и к формула и к формула, то есть, является решением нашей задачи. Найдем его
формула

Ответ:

формула - один из перпендикулярных векторов.

В задачах третьего типа проверяется навык использования свойств векторного произведения векторов. После применения свойств, применяются соответствующие формулы.

Пример.

Векторы формула и формула перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения формула.

Решение.

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать
формула

В силу сочетательного свойства вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении:
формула

Векторные произведения формула и формула равны нулю, так как формула и формула, тогда формула.

Так как векторное произведение антикоммутативно, то формула.

Итак, с помощью свойств векторного произведения мы пришли к равенству формула.

По условию векторы формула и формула перпендикулярны, то есть угол между ними равен формула. То есть, у нас есть все данные для нахождения требуемой длины
формула

Ответ:

формула.

Геометрический смысл векторного произведения.

По определению длина векторного произведения векторов равна формула. А из курса геометрии средней школы нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы формула и формула, если их отложить от одной точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов формула и формула равна площади параллелограмма со сторонами формула и формула и углом между ними, равным формула. В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

изображение

Пример.

В прямоугольной декартовой системе координат дан параллелограмм ABCD, формула. Используя векторное произведение, определите площадь треугольника АВD и площадь параллелограмма АВCD.

Решение.

Обозначим площадь треугольника АВD через формула, а площадь параллелограмма формула. В геометрическом смысле длина векторного произведения формула равна площади параллелограмма АВCD, то есть, формула, следовательно, формула. Итак, решение задачи свелось к нахождению длины векторного произведения.

Для этого сначала определяем координаты векторов формула и формула:
формула

Теперь по их координатам находим векторное произведение
формула

Вычисляем длину векторного произведения по его координатам формула.

Таким образом, формула и формула.

Ответ:

формула.

Приложение векторного произведения в механике.

В механике с помощью векторного произведения вычисляется момент силы относительно точки пространства.

Определение.

Моментом силы формула, приложенной к точке B, относительно точки А называется векторное произведение формула.

Пример.

В прямоугольной декартовой системе координат даны точки формула. К точке В приложена сила формула. Найти формула - момент силы формула относительно точки А.

Решение.

Вектор формула имеет координаты формула. По определению
формула

Ответ:

формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Профиль автора статьи в Google+