Нахождение длины вектора, примеры и решения.

По определению вектор – это направленный отрезок, а длина этого отрезка в заданном масштабе является длиной вектора. Таким образом, задача нахождения длины вектора на плоскости и в пространстве сводится к нахождению длины соответствующего отрезка. Для решения этой задачи в нашем распоряжении все средства геометрии, хотя в большинстве случаев достаточно теоремы Пифагора. С ее помощью можно получить формулу для вычисления длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат, а также формулу нахождения длины вектора по координатам точек его начала и конца. Когда вектор является стороной треугольника, то его длина может быть найдена по теореме косинусов, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора изображение будем обозначать изображение. Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор изображение и он имеет координаты изображение. Получим формулу, позволяющую находить длину вектора изображение через координаты изображение и изображение.

Отложим от начала координат (от точки О) вектор изображение. Обозначим проекции точки А на координатные оси как изображение и изображение соответственно и рассмотрим прямоугольник изображение с диагональю ОА.

изображение

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство изображение, откуда изображение. Из определения координат вектора в прямоугольной системе координат мы можем утверждать, что изображение и изображение, а по построению длина ОА равна длине вектора изображение, следовательно, изображение.

Таким образом, формула для нахождения длины вектора изображение по его координатам на плоскости имеет вид изображение.

Если вектор изображение представлен в виде разложения по координатным векторам изображение, то его длина вычисляется по этой же формуле изображение, так как в этом случае коэффициенты изображение и изображение являются координатами вектора изображение в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора изображение, заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам изображение:
изображение

Ответ:

изображение.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора изображение по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор изображение и обозначим проекции точки А на координатные оси как изображение и изображение. Тогда мы можем построить на сторонах изображение и изображение прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

изображение

В этом случае изображение (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда изображение. Определение координат вектора позволяет нам записать равенства изображение, а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, изображение.

Таким образом, длина вектора изображение в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле изображение.

Пример.

Вычислите длину вектора изображение, где изображение - орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора изображение по координатным векторам вида изображение, следовательно, изображение. Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем изображение.

Ответ:

изображение.

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки изображение и изображение, то вектор изображение имеет координаты изображение и его длина вычисляется по формуле изображение, а формула для нахождения длины вектора изображение по координатам точек изображение и изображение трехмерного пространства имеет вид изображение.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите длину вектора изображение, если в прямоугольной декартовой системе координат изображение.

Решение.

Можно сразу применить формулу для нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости изображение:
изображение

Вторым вариантом решения является определение координат вектора через координаты точек и применение формулы изображение:
изображение

Ответ:

изображение.

Пример.

Определите, при каких значениях изображение длина вектора изображение равна изображение, если изображение.

Решение.

Длина вектора изображение по координатам точек начала и конца может быть найдена как
изображение

Приравняв полученное значение длины вектора к изображение, вычислим искомые изображение:
изображение

Ответ:

при изображение.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов.

Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.

Пусть известны длины двух векторов изображение, изображение и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора изображение или изображение. В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС, которая равна искомой длине вектора.

Разберем решение примера для пояснения сказанного.

Пример.

Длины векторов изображение и изображение равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен изображение. Вычислите длину вектора изображение.

Решение.

Длина вектора изображение равна длине стороны ВС в треугольнике АВС. Из условия нам известны длины сторон АВ и АС этого треугольника (они равны длинам соответствующих векторов), а также угол между ними, поэтому нам достаточно данных для применения теоремы косинусов:
изображение

Таким образом, изображение.

Ответ:

изображение.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы
изображение или изображение,
по координатам точек начала и конца вектора -
изображение или изображение,
в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Профиль автора статьи в Google+