Нахождение координат вектора через координаты точек.
В разделе координаты вектора в прямоугольной системе координат мы выяснили, что координаты точки равны соответствующим координатам радиус-вектора этой точки. А как же находятся координаты вектора на плоскости или в пространстве, если точка его начала не совпадает с началом заданной прямоугольной системы координат? В этой статье мы дадим ответ на поставленный вопрос.
Пусть в декартовой системе координат на плоскости Oxy нам известны координаты точек начала и конца вектора 
: 
. Найдем координаты вектора .
Если вспомнить геометрическое определение операции сложения двух векторов, то можно записать равенство 
(О – начало координат), откуда находим 
.
Векторы 
и 
являются радиус-векторами точек А и В в заданной прямоугольной декартовой системе координат, следовательно, их координаты равны соответствующим координатам точек А и В, то есть, 
. Тогда, опираясь на теорию статьи операции над векторами в прямоугольной системе координат, находим 
.
Аналогично, в трехмерном пространстве для точек 
справедливо 
.
Таким образом, координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала, то есть, на плоскости 
, а в трехмерном пространстве 
.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример.
В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости Oxy даны две точки 
. Найдите координаты векторов и в этой системе координат.
Решение.
Вектор является радиус-вектором точки А, следовательно, его координаты совпадают с координатами точки А, то есть, 
.
Координаты вектора находим как разность соответствующих координат точек В и А:
.
Ответ:
.
Пример.
В трехмерном евклидовом пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz. Известно, что точка А имеет координаты 
, а вектор 
. Найдите координаты конца вектора .
Решение.
Так как координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора, то справедливо 
. Подставим координаты точки А: 
.
С другой стороны из условия задачи 
.
Нам известно, что в прямоугольной системе координат векторы равны тогда, когда равны их соответствующие координаты. Тогда, приравнивая соответствующие координаты, приходим к системе уравнений
откуда находим координаты точки В, то есть, конца вектора :
Ответ:
.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
Некогда разбираться?