Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Нахождение координат вектора через координаты точек.


В разделе координаты вектора в прямоугольной системе координат мы выяснили, что координаты точки равны соответствующим координатам радиус-вектора этой точки. А как же находятся координаты вектора на плоскости или в пространстве, если точка его начала не совпадает с началом заданной прямоугольной системы координат? В этой статье мы дадим ответ на поставленный вопрос.


Пусть в декартовой системе координат на плоскости Oxy нам известны координаты точек начала и конца вектора изображение: изображение. Найдем координаты вектора изображение.

Если вспомнить геометрическое определение операции сложения двух векторов, то можно записать равенство изображение (О – начало координат), откуда находим изображение.

изображение

Векторы изображение и изображение являются радиус-векторами точек А и В в заданной прямоугольной декартовой системе координат, следовательно, их координаты равны соответствующим координатам точек А и В, то есть, изображение. Тогда, опираясь на теорию статьи операции над векторами в прямоугольной системе координат, находим изображение.

изображение

Аналогично, в трехмерном пространстве для точек изображение справедливо изображение.

Таким образом, координаты вектора изображение равны разности соответствующих координат точек его конца и начала, то есть, на плоскости изображение, а в трехмерном пространстве изображение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости Oxy даны две точки формула. Найдите координаты векторов формула и формула в этой системе координат.

Решение.

Вектор формула является радиус-вектором точки А, следовательно, его координаты совпадают с координатами точки А, то есть, формула.

Координаты вектора формула находим как разность соответствующих координат точек В и А:
формула.

Ответ:

формула.


Пример.

В трехмерном евклидовом пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz. Известно, что точка А имеет координаты формула, а вектор формула. Найдите координаты конца вектора формула.

Решение.

Так как координаты вектора формула равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора, то справедливо формула. Подставим координаты точки А: формула.

С другой стороны из условия задачи формула.

Нам известно, что в прямоугольной системе координат векторы равны тогда, когда равны их соответствующие координаты. Тогда, приравнивая соответствующие координаты, приходим к системе уравнений
формула
откуда находим координаты точки В, то есть, конца вектора формула:
формула

Ответ:

формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+