Скалярное произведение векторов, его свойства, примеры вычисления.

Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число, важное место занимает операция скалярного умножения двух векторов. В этой статье мы дадим определение скалярного произведения векторов на плоскости и в трехмерном пространстве, перечислим его свойства и подробно разберем решения характерных примеров, в которых требуется вычислить скалярное произведение.

Определение скалярного произведения векторов.

Определение.

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов формула и формула будем обозначать как формула. Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид формула, где формула и формула - длины векторов формула и формула соответственно, а формула - угол между векторами формула и формула.

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то формула.

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению формула.

Определение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Формулу для вычисления скалярного произведения формула можно записать в виде формула, где формула - числовая проекция вектора формула на направление вектора формула, а формула - числовая проекция вектора формула на направление вектора формула.

Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.

Определение.

Скалярным произведением двух векторов формула и формула называется произведение длины вектора формула на числовую проекцию вектора формула на направление вектора формула или произведение длины вектора формула на числовую проекцию вектора формула на направление вектора формула.

Это определение эквивалентно первому.

Скалярное произведение в координатах.

Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.

Определение.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов формула и формула.

То есть, для векторов формула на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
формула,
а для векторов формула в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
формула.

Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.

Сначала докажем равенства формула для векторов формула на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы формула и формула. Тогда формула (при необходимости обращайтесь к статьям операции над векторами и их свойства и операции над векторами в координатах).

Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов мы можем записать формула. Так как формула, то последнее равенство можно переписать как формула, а по первому определению скалярного произведения имеем формула, откуда формула.

Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
формула

Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств формула для векторов формула, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости формула, в пространстве формула.

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов формула и формула справедливы следующие свойства скалярного произведения:

  1. свойство коммутативности скалярного произведения формула;
  2. свойство дистрибутивности формула или формула;
  3. сочетательное свойство формула или формула, где формула - произвольное действительное число;
  4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен формула, причем формула тогда и только тогда, когда вектор формула нулевой.

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения формула. По определению формула и формула. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо формула и формула, тогда формула. Следовательно, формула, что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть, формула и формула, откуда следует
формула

Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.

Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул

  1. формула;
  2. формула;
  3. формула или формула;
  4. формула.

Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.

Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.

Пример.

Вычислите скалярное произведение двух векторов формула и формула, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Решение.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: формула.

Ответ:

формула.

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора формула и формула, найдите их скалярное произведение.

Решение.

В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:
формула

Ответ:

формула.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов формула и формула, если известны координаты трех точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости формула.

Решение.

Найдем координаты векторов по координатам точек их начала и конца:
формула

Теперь можно использовать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах:
формула

Ответ:

формула.

Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов формула и формула, если векторы формула и формула перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Решение.

формула. По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем формула. Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:
формула

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид
формула.

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем формула. Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:
формула

Ответ:

формула.

Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов формула и формула, если формула, а проекция вектора формула на направление вектора формула имеет координаты формула.

Решение.

Векторы формула и формула противоположно направленные, так как формула, следовательно, числовая проекция вектора формула на направление вектора формула будет равна длине вектора формула со знаком минус: формула.

Вычисляем скалярное произведение формула.

Ответ:

формула.

Также встречается масса обратных задач, когда скалярное произведение векторов известно, а требуется найти, например, длину одного из векторов, угол между векторами, числовую проекцию, либо что-нибудь еще.

Пример.

При каком значении формула скалярное произведение векторов формула и формула равно -1.

Решение.

Так как скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат, то формула. С другой стороны по условию формула. Тогда искомое значение формула находим из уравнения формула, откуда формула.

Ответ:

формула.

Физический смысл скалярного произведения векторов.

В механике можно отметить следующее приложение скалярного произведения векторов.

Известно, что работа A постоянной силы формула по перемещению тела из точки M в точку N пространства находится как произведение длин векторов формула, формула и косинуса угла между ними, то есть, работа равна скалярному произведению векторов силы и перемещения: формула.

Пример.

Материальная точка переместилась на расстояние 3 метра под воздействием постоянной силы в 5 ньютонов, направленной под углом 45 градусов по отношению к оси перемещения. Найдите работу этой силы.

Решение.

Работа равна скалярному произведению вектора силы формула на вектор перемещения формула. Из условия нам известно формула.Таким образом, формула.

Ответ:

формула.

Пример.

При перемещении материальной точки из точки пространства формула в формула под действием силы формула была совершена работа A = 13Дж. Найдите длину перемещения материальной точки.

Решение.

Вектор формула имеет координаты формула. Работа находится как скалярное произведение векторов формула и формула, то есть, формула. Так как по условию А = 13, то формула, откуда формула, следовательно, формула. Находим длину перемещения материальной точки как корень квадратный из скалярного квадрата вектора перемещения формула:
формула

Ответ:

формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Профиль автора статьи в Google+