Математика на cleverstudents.ru

Векторы, действия с векторами

Скалярное произведение векторов, его свойства, примеры вычисления.

Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число, важное место занимает операция скалярного умножения двух векторов. В этой статье мы дадим определение скалярного произведения векторов на плоскости и в трехмерном пространстве, перечислим его свойства и подробно разберем решения характерных примеров, в которых требуется вычислить скалярное произведение.

Определение скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение векторов и будем обозначать как . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению .

Формулу для вычисления скалярного произведения можно записать в виде , где - числовая проекция вектора на направление вектора , а - числовая проекция вектора на направление вектора .

Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.

Это определение эквивалентно первому.

Скалярное произведение в координатах.

Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.

То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
,
а для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
.

Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.

Сначала докажем равенства для векторов на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы и . Тогда (при необходимости обращайтесь к статьям операции над векторами и их свойства и операции над векторами в координатах).

Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов мы можем записать . Так как , то последнее равенство можно переписать как , а по первому определению скалярного произведения имеем , откуда .

Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем

Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств для векторов , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве .

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. свойство коммутативности скалярного произведения ;
2. свойство дистрибутивности или ;
3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;
4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По определению и . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо и , тогда . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть, и , откуда следует

Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.

Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул

1. ;
2. ;
3. или ;
4. .

Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.

Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.

Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению.

Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.

Также встречается масса обратных задач, когда скалярное произведение векторов известно, а требуется найти, например, длину одного из векторов, угол между векторами, числовую проекцию, либо что-нибудь еще.

Физический смысл скалярного произведения векторов.

В механике можно отметить следующее приложение скалярного произведения векторов.

Известно, что работа A постоянной силы по перемещению тела из точки M в точку N пространства находится как произведение длин векторов , и косинуса угла между ними, то есть, работа равна скалярному произведению векторов силы и перемещения: .

Некогда разбираться?

Закажите решение