Проекция вектора на ось, числовая проекция вектора.
В этой статье мы разберемся с проекцией вектора на ось и научимся находить числовую проекцию вектора. Сначала дадим определение проекции вектора на ось, введем обозначения, а также приведем графическую иллюстрацию. После этого озвучим определение числовой проекции вектора на ось, рассмотрим способы ее нахождения и покажем решения нескольких примеров, в которых требуется найти числовую проекцию вектора на ось.
Проекция вектора на ось – определение, обозначение, иллюстрации, пример.
Начнем с общих сведений.
Под осью понимается прямая, для которой указано направление. Таким образом, проекция вектора на ось и проекция вектора на направленную прямую – это одно и то же.
Проекцию вектора на ось можно рассматривать в двух смыслах: геометрическом и алгебраическом. В геометрическом смысле проекция вектора на ось есть вектор, а в алгебраическом – число. Часто это разграничение явно не указывается, а понимается из контекста. Мы же не станем игнорировать это разграничение: будем использовать термин «проекция вектора на ось», когда речь идет о проекции вектора в геометрическом смысле, и термин «числовая проекция вектора на ось», когда речь идет о проекции вектора в алгебраическом смысле (числовой проекции вектора на ось посвящен следующий пункт этой статьи).
Теперь переходим к определению проекции вектора на ось. Для этого не помешает повторить определение проекции точки на прямую.
Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве нам задана ось L и ненулевой вектор . Обозначим проекции точек А и В на прямую L соответственно как А1 и В1 и построим вектор . Забегая вперед скажем, что вектор - это проекция вектора на ось L.
Определение.
Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.
Проекцию вектора на ось L обозначают как .
Чтобы построить проекцию вектора на ось L, нужно из точек А и В опустить перпендикуляры на направленную прямую L – основания этих перпендикуляров дадут начало и конец искомой проекции .
Приведем пример проекции вектора на ось.
Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и задана некоторая точка . Изобразим радиус-вектор точки М1 и построим его проекции на координатные оси Ox и Oy. Очевидно, ими являются векторы с координатами и соответственно.
Часто можно слышать о проекции одного вектора на другой ненулевой вектор или о проекции вектора на направление вектора . В этом случае подразумевается проекция вектора на некоторую ось, направление которой совпадает с направлением вектора (вообще существует бесконечно много осей, направления которых совпадают с направлением вектора ). Проекция вектора на прямую, направление которой определяет вектор , обозначается как .
Отметим, что если угол между векторами и острый, то векторы и сонаправлены. Если угол между векторами и тупой, то векторы и противоположно направлены. Если же вектор нулевой или перпендикулярен вектору , то проекция вектора на прямую, направление которой задает вектор , есть нулевой вектор.
Числовая проекция вектора на ось – определение, обозначение, примеры нахождения.
Числовой характеристикой проекции вектора на ось является числовая проекция этого вектора на данную ось.
Определение.
Числовая проекция вектора на ось – это число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.
Числовую проекцию вектора на ось L обозначают как (без стрелочки сверху), а числовую проекцию вектора на ось, определяемую вектором , - как .
В этих обозначениях определение числовой проекции вектора на прямую, направленную как вектор , примет вид , где - длина вектора , - угол между векторами и .
Итак, мы имеем первую формулу для вычисления числовой проекции вектора: . Эта формула применяется, когда известны длина вектора и угол между векторами и . Несомненно, эту формулу можно применять и тогда, когда известны координаты векторов и относительно заданной прямоугольной системы координат, однако в этом случае удобнее использовать другую формулу, которую мы получим ниже.
Пример.
Вычислите числовую проекцию вектора на прямую, направленную как вектор , если длина вектора равна 8, а угол между векторами и равен .
Решение.
Из условия задачи имеем . Осталось лишь применить формулу, позволяющую определить требуемую числовую проекцию вектора:
Ответ:
4.
Нам известно, что , где – скалярное произведение векторов и . Тогда формула , позволяющая найти числовую проекцию вектора на прямую, направленную как вектор , примет вид . То есть, мы можем сформулировать еще одно определение числовой проекции вектора на ось, которое эквивалентно определению, данному в начале этого пункта.
Определение.
Числовая проекция вектора на ось, направление которой совпадает с направлением вектора , - это отношение скалярного произведения векторов и к длине вектора .
Полученную формулу вида удобно применять для нахождения числовой проекции вектора на прямую, направление которой совпадает с направлением вектора , когда известны координаты векторов и . Покажем это при решении примеров.
Пример.
Известно, что вектор задает направление оси L. Найдите числовую проекцию вектора на ось L.
Решение.
Формула в координатной форме имеет вид , где и . Используем ее для нахождения требуемой числовой проекции вектора на ось L:
Ответ:
5.
Пример.
Относительно прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы два вектора и . Найдите числовую проекцию вектора на ось L, направление которой совпадает с направлением вектора .
Решение.
По координатам векторов и можно вычислить скалярное произведение этих векторов: . Длина вектора по его координатам вычисляется по следующей формуле . Тогда формула для определения числовой проекции вектора на ось L в координатах имеет вид .
Применим ее:
Ответ:
.
Теперь давайте получим связь между числовой проекцией вектора на ось L, направление которой определяет вектор , и длиной проекции вектора на ось L. Для этого изобразим ось L, отложим векторы и из точки, лежащей на L, опустим перпендикуляр из конца вектора на прямую L и построим проекцию вектора на ось L. В зависимости от меры угла между векторами и возможны следующие пять вариантов:
В первом случае очевидно, что , следовательно, , тогда .
Во втором случае в отмеченном прямоугольном треугольнике из определения косинуса угла имеем , следовательно, .
В третьем случае очевидно, что , а , следовательно, и .
В четвертом случае из определения косинуса угла следует, что , откуда .
В последнем случае , следовательно, , тогда .
Следующее определение числовой проекции вектора на ось объединяет в себе полученные результаты.
Определение.
Числовая проекция вектора на ось L, направленную как вектор , это
Пример.
Длина проекции вектора на ось L, направление которой задает вектор , равна . Чему равна числовая проекция вектора на ось L, если угол между векторами и равен радиан.
Решение.
Так как угол между векторами и тупой (), то числовая проекция вектора на ось L равна длине проекции вектора на ось L, умноженной на минус единицу: .
Ответ:
.
В заключении разберем пример, в котором находятся координаты проекции вектора на ось.
Пример.
Известно, что в заданной прямоугольной системе координат Oxyz длина вектора равна , вектор имеет координаты , а угол между векторами и равен . Найдите координаты проекции вектора на ось L, направление которой определяется вектором .
Решение.
Мы можем вычислить числовую проекцию вектора на указанную ось:
Так как угол между векторами и острый, то числовая проекция вектора на ось L равна длине проекции вектора на ось L: . Более того, в этом случае векторы и сонаправлены, следовательно, существует такое действительное положительное число t, для которого справедливо равенство (при необходимости изучите материал статьи условие коллинеарности векторов). Тогда , откуда находим значение параметра t:
Поэтому, , и координаты проекции вектора на ось L равны соответствующим координатам вектора , умноженным на 3, то есть, (при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах).
Ответ:
.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
- Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
Некогда разбираться?