Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Проекция вектора на ось, числовая проекция вектора.


В этой статье мы разберемся с проекцией вектора на ось и научимся находить числовую проекцию вектора. Сначала дадим определение проекции вектора на ось, введем обозначения, а также приведем графическую иллюстрацию. После этого озвучим определение числовой проекции вектора на ось, рассмотрим способы ее нахождения и покажем решения нескольких примеров, в которых требуется найти числовую проекцию вектора на ось.


Проекция вектора на ось – определение, обозначение, иллюстрации, пример.

Начнем с общих сведений.

Под осью понимается прямая, для которой указано направление. Таким образом, проекция вектора на ось и проекция вектора на направленную прямую – это одно и то же.

Проекцию вектора на ось можно рассматривать в двух смыслах: геометрическом и алгебраическом. В геометрическом смысле проекция вектора на ось есть вектор, а в алгебраическом – число. Часто это разграничение явно не указывается, а понимается из контекста. Мы же не станем игнорировать это разграничение: будем использовать термин «проекция вектора на ось», когда речь идет о проекции вектора в геометрическом смысле, и термин «числовая проекция вектора на ось», когда речь идет о проекции вектора в алгебраическом смысле (числовой проекции вектора на ось посвящен следующий пункт этой статьи).

Теперь переходим к определению проекции вектора на ось. Для этого не помешает повторить определение проекции точки на прямую.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве нам задана ось L и ненулевой вектор формула. Обозначим проекции точек А и В на прямую L соответственно как А1 и В1 и построим вектор формула. Забегая вперед скажем, что вектор формула - это проекция вектора формула на ось L.

Определение.

Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.

Проекцию вектора формула на ось L обозначают как формула.

Чтобы построить проекцию вектора формула на ось L, нужно из точек А и В опустить перпендикуляры на направленную прямую L – основания этих перпендикуляров дадут начало и конец искомой проекции формула.

изображение

Приведем пример проекции вектора на ось.

Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и задана некоторая точка формула. Изобразим радиус-вектор точки М1 и построим его проекции на координатные оси Ox и Oy. Очевидно, ими являются векторы с координатами формула и формула соответственно.

изображение

Часто можно слышать о проекции одного вектора формула на другой ненулевой вектор формула или о проекции вектора формула на направление вектора формула. В этом случае подразумевается проекция вектора формула на некоторую ось, направление которой совпадает с направлением вектора формула (вообще существует бесконечно много осей, направления которых совпадают с направлением вектора формула). Проекция вектора формула на прямую, направление которой определяет вектор формула, обозначается как формула.

Отметим, что если угол между векторами формула и формула острый, то векторы формула и формула сонаправлены. Если угол между векторами формула и формула тупой, то векторы формула и формула противоположно направлены. Если же вектор формула нулевой или перпендикулярен вектору формула, то проекция вектора формула на прямую, направление которой задает вектор формула, есть нулевой вектор.

Числовая проекция вектора на ось – определение, обозначение, примеры нахождения.


Числовой характеристикой проекции вектора на ось является числовая проекция этого вектора на данную ось.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось – это число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Числовую проекцию вектора формула на ось L обозначают как формула (без стрелочки сверху), а числовую проекцию вектора формула на ось, определяемую вектором формула, - как формула.

В этих обозначениях определение числовой проекции вектора формула на прямую, направленную как вектор формула, примет вид формула, где формула - длина вектора формула, формула - угол между векторами формула и формула.

Итак, мы имеем первую формулу для вычисления числовой проекции вектора: формула. Эта формула применяется, когда известны длина вектора формула и угол между векторами формула и формула. Несомненно, эту формулу можно применять и тогда, когда известны координаты векторов формула и формула относительно заданной прямоугольной системы координат, однако в этом случае удобнее использовать другую формулу, которую мы получим ниже.

Пример.

Вычислите числовую проекцию вектора формула на прямую, направленную как вектор формула, если длина вектора формула равна 8, а угол между векторами формула и формула равен формула.

Решение.

Из условия задачи имеем формула. Осталось лишь применить формулу, позволяющую определить требуемую числовую проекцию вектора:
формула

Ответ:

4.

Нам известно, что формула, где формуласкалярное произведение векторов формула и формула. Тогда формула формула, позволяющая найти числовую проекцию вектора формула на прямую, направленную как вектор формула, примет вид формула. То есть, мы можем сформулировать еще одно определение числовой проекции вектора на ось, которое эквивалентно определению, данному в начале этого пункта.

Определение.

Числовая проекция вектора формула на ось, направление которой совпадает с направлением вектора формула, - это отношение скалярного произведения векторов формула и формула к длине вектора формула.

Полученную формулу вида формула удобно применять для нахождения числовой проекции вектора формула на прямую, направление которой совпадает с направлением вектора формула, когда известны координаты векторов формула и формула. Покажем это при решении примеров.

Пример.

Известно, что вектор формула задает направление оси L. Найдите числовую проекцию вектора формула на ось L.

Решение.

Формула формула в координатной форме имеет вид формула, где формула и формула. Используем ее для нахождения требуемой числовой проекции вектора формула на ось L:
формула

Ответ:

5.

Пример.

Относительно прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы два вектора формула и формула. Найдите числовую проекцию вектора формула на ось L, направление которой совпадает с направлением вектора формула.

Решение.

По координатам векторов формула и формула можно вычислить скалярное произведение этих векторов: формула. Длина вектора формула по его координатам вычисляется по следующей формуле формула. Тогда формула для определения числовой проекции вектора формула на ось L в координатах имеет вид формула.

Применим ее:
формула

Ответ:

формула.

Теперь давайте получим связь между числовой проекцией вектора формула на ось L, направление которой определяет вектор формула, и длиной проекции вектора формула на ось L. Для этого изобразим ось L, отложим векторы формула и формула из точки, лежащей на L, опустим перпендикуляр из конца вектора формула на прямую L и построим проекцию вектора формула на ось L. В зависимости от меры угла между векторами формула и формула возможны следующие пять вариантов:

изображение

В первом случае очевидно, что формула, следовательно, формула, тогда формула.

Во втором случае в отмеченном прямоугольном треугольнике из определения косинуса угла имеем формула, следовательно, формула.

В третьем случае очевидно, что формула, а формула, следовательно, формула и формула.

В четвертом случае из определения косинуса угла следует, что формула, откуда формула.

В последнем случае формула, следовательно, формула, тогда формула.

Следующее определение числовой проекции вектора на ось объединяет в себе полученные результаты.

Определение.

Числовая проекция вектора формула на ось L, направленную как вектор формула, это

  • длина проекции вектора формула на ось L, если угол между векторами формула и формула острый или равен нулю (формула, если формула);
  • ноль, если векторы формула и формула перпендикулярны (формула, если формула);
  • длина проекции вектора формула на ось L, умноженная на минус единицу, если угол между векторами формула и формула тупой или развернутый (формула, если формула).

Пример.

Длина проекции вектора формула на ось L, направление которой задает вектор формула, равна формула. Чему равна числовая проекция вектора формула на ось L, если угол между векторами формула и формула равен формула радиан.

Решение.

Так как угол между векторами формула и формула тупой (формула), то числовая проекция вектора формула на ось L равна длине проекции вектора формула на ось L, умноженной на минус единицу: формула.

Ответ:

формула.

В заключении разберем пример, в котором находятся координаты проекции вектора на ось.

Пример.

Известно, что в заданной прямоугольной системе координат Oxyz длина вектора формула равна формула, вектор формула имеет координаты формула, а угол между векторами формула и формула равен формула. Найдите координаты проекции вектора формула на ось L, направление которой определяется вектором формула.

Решение.

Мы можем вычислить числовую проекцию вектора формула на указанную ось:
формула

Так как угол между векторами формула и формула острый, то числовая проекция вектора формула на ось L равна длине проекции вектора формула на ось L: формула. Более того, в этом случае векторы формула и формула сонаправлены, следовательно, существует такое действительное положительное число t, для которого справедливо равенство формула (при необходимости изучите материал статьи условие коллинеарности векторов). Тогда формула, откуда находим значение параметра t:
формула

Поэтому, формула, и координаты проекции вектора формула на ось L равны соответствующим координатам вектора формула, умноженным на 3, то есть, формула (при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах).

Ответ:

формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
  • Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+