Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Операции над векторами в прямоугольной системе координат.


С векторами, заданными в прямоугольной системе координат совершать действия еще проще, чем с их геометрическими образами. В этой статье мы покажем как выполняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, если известны их координаты, и подробно разберем решения примеров.


Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy. Рассмотрим векторы формула и формула. Эти векторы можно разложить по координатным векторам формула и формула как формула и формула, что было показано в статье координаты вектора в прямоугольной системе координат.

Найдем сумму векторов формула и формула, а также произведение вектора формула на произвольное действительное число формула.

В силу свойств операций над векторами, справедливы следующие равенства
формула

Правые части этих равенств представляют собой разложение векторов формула и формула по координатным векторам формула и формула, следовательно, векторы формула и формула имеют координаты формула и формула соответственно.

Аналогично для векторов формула и формула, заданных в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, мы можем записать
формула
следовательно, формула.

Таким образом, координаты суммы векторов формула и формула равны сумме соответствующих координат векторов формула и формула,

а координаты произведения вектора формула на число формула равны соответствующим координатам вектора формула, умноженным на это число в заданной системе координат.

Если требуется найти координаты суммы нескольких векторов, то они будут равны сумме соответствующих координат каждого из векторов.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Выполните операцию сложения векторов формула и формула, а также найдите координаты произведения вектора формула на число формула.

Решение.

Так как координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат каждого из векторов, то формула.

При выполнении операции умножения вектора на число, умножаем на это число каждую координату: формула.

Ответ:

формула.


Пример.

В прямоугольной системе координат заданы векторы формула, найдите координаты вектора формула, выполнив необходимые операции.

Решение.

Используя свойства операций над векторами, мы можем записать формула. Теперь выполняем необходимые операции в координатах:
формула

Можно было поступить и иначе.

Разложения векторов формула и формула имеют вид
формула

Выполним требуемые операции над векторами, использую свойства векторов:
формула

Таким образом, координатами вектора формула являются формула.

Ответ:

формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+