Операции над векторами в прямоугольной системе координат.
С векторами, заданными в прямоугольной системе координат совершать действия еще проще, чем с их геометрическими образами. В этой статье мы покажем как выполняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, если известны их координаты, и подробно разберем решения примеров.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy. Рассмотрим векторы 
и 
. Эти векторы можно разложить по координатным векторам 
и 
как 
и 
, что было показано в статье координаты вектора в прямоугольной системе координат.
Найдем сумму векторов 
и 
, а также произведение вектора на произвольное действительное число 
.
В силу свойств операций над векторами, справедливы следующие равенства
Правые части этих равенств представляют собой разложение векторов 
и 
по координатным векторам и , следовательно, векторы и имеют координаты 
и 
соответственно.
Аналогично для векторов 
и 
, заданных в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, мы можем записать
следовательно, 
.
Таким образом, координаты суммы векторов и равны сумме соответствующих координат векторов и ,
а координаты произведения вектора на число равны соответствующим координатам вектора , умноженным на это число в заданной системе координат.
Если требуется найти координаты суммы нескольких векторов, то они будут равны сумме соответствующих координат каждого из векторов.
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Выполните операцию сложения векторов 
и 
, а также найдите координаты произведения вектора на число 
.
Решение.
Так как координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат каждого из векторов, то 
.
При выполнении операции умножения вектора на число, умножаем на это число каждую координату: 
.
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной системе координат заданы векторы 
, найдите координаты вектора 
, выполнив необходимые операции.
Решение.
Используя свойства операций над векторами, мы можем записать 
. Теперь выполняем необходимые операции в координатах:
Можно было поступить и иначе.
Разложения векторов 
и 
имеют вид
Выполним требуемые операции над векторами, использую свойства векторов:
Таким образом, координатами вектора являются 
.
Ответ:
.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
Некогда разбираться?