Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Операции над векторами и их свойства.


В этой статье мы рассмотрим операции, которые можно производить с векторами на плоскости и в пространстве. Далее мы перечислим свойства операций над векторами и обоснуем их с помощью геометрических простроений. Также покажем применение свойств операций над векторами при упрощении выражений, содержащих векторы.

Для более качественного усвоения материала рекомендуем освежить в памяти понятия, данные в статье векторы - основные определения.


Операция сложения двух векторов - правило треугольника.

Покажем как происходит сложение двух векторов.

Сложение векторов формула и формула происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор формула, равный формула, далее от точки B откладываеься вектор формула, равный формула, и вектор формула представляет собой сумму векторов формула и формула. Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника.

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.

формула

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

формула

Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.


Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B - это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор формула.

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника. Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

формула

Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.

Операция умножения вектора на число.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в формула раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении вектора формула на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора формула на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

формула

Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов формула и произвольных действительных чисел формула можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.

  1. Свойство коммутативности формула.
    формула
  2. Свойство ассоциативности сложения формула.
    формула
  3. Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор формула, и формула. Это свойство очевидно.
  4. Для любого ненулевого вектора формула существует противоположный вектор формула и верно равенство формула. Это свойство очевидно без иллюстрации.
  5. Сочетательное свойство умножения формула. К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12 раз.
  6. Первое распределительное свойство формула. Это свойство достаточно очевидно.
  7. Второе распределительное свойство формула. Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже.
    формула
  8. Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, формула. При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.

Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.

Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов формула и формула есть сумма векторов формула и формула.

Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.

Разберем на примере.

Пример.

Упростите выражение, содержащее векторы формула.

Решение.

Если воспользоваться вторым распределительным свойством операции умножения вектора на число, то получим формула.

В силу сочетательного свойства умножения имеем формула.

Свойство коммутативности операции сложения векторов позволяет поменять местами второе и третье слагаемые формула, а по первому распределительному свойству имеем формула.

А теперь запишем кратко: формула.

Ответ:

формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+