Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

n-мерные векторы, операции над ними.


В разделе векторы - основные определения мы ввели понятие вектора в двумерном пространстве (на плоскости) и в трехмерном пространстве. В этой статье мы отойдем от геометрического толкования вектора и посмотрим на него не как на направленный отрезок, а как на упорядоченный набор чисел с присущими ему свойствами. То есть, мы рассматрим векторы с позиций алгебры, что позволит расширить понятие вектора на случай n-мерного пространства. Итак, мы дадим понятие n-мерного вектора, зададим операции над n-мерными векторами, перечислим свойства этих операций и покажем их применение при решении задач.


Определение.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел формула называется n-мерным вектором.

Числа формула называются координатами вектора.

Векторы обозначаются строчными латинскими буквами, например, a, b, c и т.п., координаты вектора указываются в скобках.

Если записать вектор a как формула, то имеем вектор-строку; если записать формула, то имеем вектор-столбец. Это две формы записи одного и того же объекта - n-мерного вектора.

Обратите внимание: при обозначении n-мерных векторов стрелочка сверху над буквой (которая ставится при обозначении вектора на плоскости и в трехмерном пространстве) отсутствует.

Определение.

Вектор формула, все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором.

Определение.

Вектор формула называется противоположным вектору формула.

Для n-мерных векторов задаются две операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

Определение.

Суммой двух векторов формула и формула называется вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат, то есть, формула.

Следует отметить, что складывать можно только векторы количество координат которых совпадает. Операция сложения для векторов, имеющих различное число координат, не определена.

Определение.

Произведением действительного или комплексного числа формула и вектора формула называется вектор, координаты которого равны соответствующим координатам вектора а, умноженным на формула, то есть, формула.

Введенные таким образом операции над n-мерными векторами при n=2 и n=3 полностью согласуются с операциями сложения и умножения вектора на число на плоскости и в трехмерном пространстве в геометрическом смысле. Под координатами двумерного или трехмерного вектора в этом случае понимаем координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве соответственно.


Перечислим свойства операций над n-мерными векторами.

Для любых векторов формула и произвольных действительных или комплексных чисел формула справедливо:

  1. свойство коммутативности сложения векторов a+b=b+a;
  2. свойство ассоциативности векторов (a+b)+c=a+(b+c);
  3. существует нейтральный вектор по операции сложения, им является нулевой вектор, a+0=a;
  4. для любого вектора существует противоположный вектор, которые в сумме дают нулевой вектор a+(-a)=0;
  5. Сочетательное свойство умножения формула.
  6. Первое распределительное свойство формула.
  7. Второе распределительное свойство формула.
  8. существует нейтральное число по операции умножения, им является единица формула.

Эти свойства справедливы в силу свойств операций сложения и умножения действительных или комплексных чисел.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов a и b есть сумма векторов a и -b.

Перечисленные свойства операций позволяют выполнять преобразования в выражениях содержащих векторы по тем же принципам, что и в числовых выражениях.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Даны векторы формула. Найдите сумму и разность векторов a и b.

Решение.

Суммой двух векторов является вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат:

формула

Разность векторов a и b есть сумма вектора а и вектора b, предварительного умноженного на минус единицу: формула. Сначала выполняется умножение вектора на число:

формула

Осталось выполнить сложение:

формула

Ответ:

формула

Пример.

Даны векторы формула. Найдите вектор формула.

Решение.

Сначала упростим выражение, используя свойства операций над векторами:

формула

Теперь найдем координаты полученного вектора:

формула

Ответ:

формула

Пример.

Даны векторы формула. Найдите координаты вектора формула, выполнив необходимые операции.

Решение.

При нахождении координат вектора формула сначала выполним умножение вектора e на число 2, далее просуммируем соответствующие координаты:

формула

Ответ:

формула

Пример.

Даны векторы формула. Выполните указанные действия формула.

Решение.

Вектор формула имеет четыре координаты, а вектор формула - три, поэтому мы не можем их сложить и, следовательно, не можем выполнить действия над векторами формула.

Ответ:

Мы не можем выполнить указанные действия с заданными векторами.

Множество всех n-мерных векторов с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число порождают линейное пространство.

Определение.

Линейное пространство, элементами которого являются векторы, называется векторным или арифметическим.

Мы дали понятие n-мерного вектора, рассмотрели операции над n-мерными векторами, их свойства и увидели, что множество всех n-мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на число порождают векторное пространство.

Список литературы.

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+