Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения.


В этой статье мы поговорим о нахождении координат середины отрезка по координатам его концов. Сначала мы дадим необходимые понятия, далее получим формулы для нахождения координат середины отрезка, в заключении рассмотрим решения характерных примеров и задач.


Понятие середины отрезка.

Для того, чтобы ввести понятие середины отрезка, нам потребуются определения отрезка и его длины.

Понятие отрезка дается на уроках математики в пятом классе средней школы следующим образом: если взять две произвольных несовпадающих точки А и В, приложить к ним линейку и провести от А к В (или от В к А) линию, то мы получим отрезок АВ (или отрезок ВА). Точки А и В называются концами отрезка. Следуем иметь в виду, что отрезок АВ и отрезок ВА есть один и тот же отрезок.

Если отрезок АВ бесконечно продолжить в обе стороны от концов, то мы получим прямую АВ (или прямую ВА). Отрезок АВ представляет собой часть прямой АВ, заключенную между точками А и В. Таким образом, отрезок АВ – это объединение точек А, В и множества всех точек прямой АВ, находящихся между точками А и В. Если взять произвольную точку М прямой АВ, находящуюся между точками А и В, то говорят, что точка М лежит на отрезке АВ.

Длиной отрезка АВ называется расстояние между точками А и В при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка АВ будем обозначать как формула.

Определение.

Точка С называется серединой отрезка АВ, если она лежит на отрезке АВ и находится на одинаковом расстоянии от его концов.

То есть, если точка С является серединой отрезка АВ, то она лежит на нем и формула.

Далее нашей задачей будет нахождение координат середины отрезка АВ, если заданы координаты точек А и В на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Координата середины отрезка на координатной прямой.


Пусть нам задана координатная прямая Ох и две несовпадающих точки А и В на ней, которым соответствуют действительные числа формула и формула. Пусть точка С – середина отрезка АВ. Найдем координату формула точки С.

изображение

Так как точка С – середина отрезка АВ, то справедливо равенство формула. В разделе расстояние от точки до точки на координатной прямой мы показали, что расстояние между точками равно модулю разности их координат, следовательно, формула. Тогда формула или формула. Из равенства формула находим координату середины отрезка АВ на координатной прямой: формула - она равна полусумме координат концов отрезка. Из второго равенства формула получаем формула, что невозможно, так как мы брали несовпадающие точки А и В.

Итак, формула для нахождения координаты середины отрезка АВ с концами формула и формула имеет вид формула.

От этой формулы мы будем отталкиваться далее при определении координат середины отрезка, заданного на плоскости или в пространстве.

Координаты середины отрезка на плоскости.

Введем прямоугольную декартову систему координат Оxyz на плоскости. Пусть нам даны две точки формула и формула и известно, что точка С – середина отрезка АВ. Найдем координаты формула и формула точки С.

Рассмотрим сначала случай, когда точки А и В не совпадают и не лежат одновременно на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Пусть формула и формула - проекции точек А, В и С на координатные прямые Оx и Oy соответственно (при необходимости смотрите статью проекция точки на прямую).

изображение

По построению прямые формула параллельны, а также параллельны прямые формула, поэтому, по теореме Фалеса из равенства отрезков АС и СВ следует равенство отрезков формула и формула, а так же отрезков формула и формула. Следовательно, точка формула - середина отрезка формула, а формула - середина отрезка формула. Тогда в силу предыдущего пункта этой статьи формула и формула.

По этим формулам можно вычислять координаты середины отрезка АВ и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Оставим эти случаи без комментариев, а приведем графические иллюстрации.

изображение
изображение

Таким образом, середина отрезка АВ на плоскости с концами в точках формула и формула имеет координаты формула.

Координаты середины отрезка в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и заданы две точки формула и формула. Получим формулы для нахождения координат точки С, которая является серединой отрезка АВ.

Рассмотрим общий случай.

Пусть формула и формула - проекции точек А, В и С на координатные оси Оx, Оу и Oz соответственно.

изображение

По теореме Фалеса формула, следовательно, точки формула есть середины отрезков формула соответственно. Тогда формула (смотрите первый пункт этой статьи). Так мы получили формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов в пространстве.

Эти формулы можно применять и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, а также если точки А и В лежат в одной из координатных плоскостей или в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

Координаты середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов.

Формулы для нахождения координат середины отрезка легко получить, обратившись к алгебре векторов.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy и точка С – середина отрезка АВ, причем формула и формула.

По геометрическому определению операций над векторами справедливо равенство формула (точка С является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на векторах формула и формула, то есть, точка С – середина диагонали параллелограмма). В статье координаты вектора в прямоугольной системе координат мы выяснили, что координаты радиус-вектора точки равны координатам этой точки, следовательно, формула . Тогда, выполнив соответствующие операции над векторами в координатах, имеем формула. Откуда можно сделать вывод, что точка С имеет координаты формула.

Абсолютно аналогично могут быть найдены координаты середины отрезка АВ через координаты его концов в пространстве. В этом случае, если С – середина отрезка АВ и формула, то имеем формула.

Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения.

Во многих задачах приходится использовать формулы для нахождения координат середины отрезка. Рассмотрим решения наиболее характерных примеров.

Начнем с примера, в котором лишь требуется применить формулу.

Пример.

На плоскости заданы координаты двух точек формула. Найдите координаты середины отрезка АВ.

Решение.

Пусть точка С – середина отрезка АВ. Ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек А и В:
формула

Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты формула.

Ответ:

формула.

Часто с нахождением координат середины отрезка связаны задачи, в которых фигурирует термин «медиана».

Пример.

Найдите длину медианы АМ в треугольнике АВС, если известны координаты его вершин формула.

Решение.

Так как АМ – медиана, то точка М является серединой стороны ВС. Найдем координаты середины этого отрезка по известным координатам его концов:
формула

Таким образом, формула.

Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния между точками А и М:
формула

Ответ:

формула.

Существуют различные задачи, в которых известны координаты середины отрезка и одного из его концов, а требуется найти координаты другого конца. Рассмотрим решение одной из них.

Пример.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства дан параллелепипед формула. Известно, что формула, а формула - середина диагонали формула. Найдите координаты точки А.

Решение.

Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке, и эта точка является серединой каждой из этих диагоналей. Таким образом, мы можем утверждать, что точка М является серединой отрезка формула. Из формул для нахождения координат середины отрезка имеем
формула

Итак, точка А имеет координаты формула.

Ответ:

формула.

Формулы для нахождения координат середины отрезка также используются в задачах, связанных с симметрией. Примерами таких задач являются задачи на нахождения точек, симметричных точкам относительно точек, прямых или плоскостей. Их решение не должно вызвать у Вас проблем, если Вы усвоили материал этой статьи.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. Часть 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+