Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения.
В этой статье мы поговорим о нахождении координат середины отрезка по координатам его концов. Сначала мы дадим необходимые понятия, далее получим формулы для нахождения координат середины отрезка, в заключении рассмотрим решения характерных примеров и задач.
Понятие середины отрезка.
Для того, чтобы ввести понятие середины отрезка, нам потребуются определения отрезка и его длины.
Понятие отрезка дается на уроках математики в пятом классе средней школы следующим образом: если взять две произвольных несовпадающих точки А и В, приложить к ним линейку и провести от А к В (или от В к А) линию, то мы получим отрезок АВ (или отрезок ВА). Точки А и В называются концами отрезка. Следуем иметь в виду, что отрезок АВ и отрезок ВА есть один и тот же отрезок.
Если отрезок АВ бесконечно продолжить в обе стороны от концов, то мы получим прямую АВ (или прямую ВА). Отрезок АВ представляет собой часть прямой АВ, заключенную между точками А и В. Таким образом, отрезок АВ – это объединение точек А, В и множества всех точек прямой АВ, находящихся между точками А и В. Если взять произвольную точку М прямой АВ, находящуюся между точками А и В, то говорят, что точка М лежит на отрезке АВ.
Длиной отрезка АВ называется расстояние между точками А и В при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка АВ будем обозначать как .
Определение.
Точка С называется серединой отрезка АВ, если она лежит на отрезке АВ и находится на одинаковом расстоянии от его концов.
То есть, если точка С является серединой отрезка АВ, то она лежит на нем и .
Далее нашей задачей будет нахождение координат середины отрезка АВ, если заданы координаты точек А и В на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.
Координата середины отрезка на координатной прямой.
Пусть нам задана координатная прямая Ох и две несовпадающих точки А и В на ней, которым соответствуют действительные числа и . Пусть точка С – середина отрезка АВ. Найдем координату точки С.
Так как точка С – середина отрезка АВ, то справедливо равенство . В разделе расстояние от точки до точки на координатной прямой мы показали, что расстояние между точками равно модулю разности их координат, следовательно, . Тогда или . Из равенства находим координату середины отрезка АВ на координатной прямой: - она равна полусумме координат концов отрезка. Из второго равенства получаем , что невозможно, так как мы брали несовпадающие точки А и В.
Итак, формула для нахождения координаты середины отрезка АВ с концами и имеет вид .
От этой формулы мы будем отталкиваться далее при определении координат середины отрезка, заданного на плоскости или в пространстве.
Координаты середины отрезка на плоскости.
Введем прямоугольную декартову систему координат Оxyz на плоскости. Пусть нам даны две точки и и известно, что точка С – середина отрезка АВ. Найдем координаты и точки С.
Рассмотрим сначала случай, когда точки А и В не совпадают и не лежат одновременно на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Пусть и - проекции точек А, В и С на координатные прямые Оx и Oy соответственно (при необходимости смотрите статью проекция точки на прямую).
По построению прямые параллельны, а также параллельны прямые , поэтому, по теореме Фалеса из равенства отрезков АС и СВ следует равенство отрезков и , а так же отрезков и . Следовательно, точка - середина отрезка , а - середина отрезка . Тогда в силу предыдущего пункта этой статьи и .
По этим формулам можно вычислять координаты середины отрезка АВ и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Оставим эти случаи без комментариев, а приведем графические иллюстрации.
Таким образом, середина отрезка АВ на плоскости с концами в точках и имеет координаты .
Координаты середины отрезка в пространстве.
Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и заданы две точки и . Получим формулы для нахождения координат точки С, которая является серединой отрезка АВ.
Рассмотрим общий случай.
Пусть и - проекции точек А, В и С на координатные оси Оx, Оу и Oz соответственно.
По теореме Фалеса , следовательно, точки есть середины отрезков соответственно. Тогда (смотрите первый пункт этой статьи). Так мы получили формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов в пространстве.
Эти формулы можно применять и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, а также если точки А и В лежат в одной из координатных плоскостей или в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.
Координаты середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов.
Формулы для нахождения координат середины отрезка легко получить, обратившись к алгебре векторов.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy и точка С – середина отрезка АВ, причем и .
По геометрическому определению операций над векторами справедливо равенство (точка С является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , то есть, точка С – середина диагонали параллелограмма). В статье координаты вектора в прямоугольной системе координат мы выяснили, что координаты радиус-вектора точки равны координатам этой точки, следовательно, . Тогда, выполнив соответствующие операции над векторами в координатах, имеем . Откуда можно сделать вывод, что точка С имеет координаты .
Абсолютно аналогично могут быть найдены координаты середины отрезка АВ через координаты его концов в пространстве. В этом случае, если С – середина отрезка АВ и , то имеем .
Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения.
Во многих задачах приходится использовать формулы для нахождения координат середины отрезка. Рассмотрим решения наиболее характерных примеров.
Начнем с примера, в котором лишь требуется применить формулу.
Пример.
На плоскости заданы координаты двух точек . Найдите координаты середины отрезка АВ.
Решение.
Пусть точка С – середина отрезка АВ. Ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек А и В:
Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты .
Ответ:
.
Часто с нахождением координат середины отрезка связаны задачи, в которых фигурирует термин «медиана».
Пример.
Найдите длину медианы АМ в треугольнике АВС, если известны координаты его вершин .
Решение.
Так как АМ – медиана, то точка М является серединой стороны ВС. Найдем координаты середины этого отрезка по известным координатам его концов:
Таким образом, .
Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния между точками А и М:
Ответ:
.
Существуют различные задачи, в которых известны координаты середины отрезка и одного из его концов, а требуется найти координаты другого конца. Рассмотрим решение одной из них.
Пример.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства дан параллелепипед . Известно, что , а - середина диагонали . Найдите координаты точки А.
Решение.
Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке, и эта точка является серединой каждой из этих диагоналей. Таким образом, мы можем утверждать, что точка М является серединой отрезка . Из формул для нахождения координат середины отрезка имеем
Итак, точка А имеет координаты .
Ответ:
.
Формулы для нахождения координат середины отрезка также используются в задачах, связанных с симметрией. Примерами таких задач являются задачи на нахождения точек, симметричных точкам относительно точек, прямых или плоскостей. Их решение не должно вызвать у Вас проблем, если Вы усвоили материал этой статьи.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.
- Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. Часть 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
Некогда разбираться?