Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Линейная зависимость и независимость, свойства, исследование системы векторов на линейную зависимость, примеры и решения.


Понятия линейной зависимости и независимости системы векторов является очень важными при изучении алгебры векторов, так как на них базируются понятия размерности и базиса пространства. В этой статье мы дадим определения, рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости, получим алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость и подробно разберем решения примеров.


Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Рассмотрим набор из p n-мерных векторов, обозначим их следующим образом формула. Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел формула (действительных или комплексных): формула. Отталкиваясь от определения операций над n-мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n-мерный вектор формула, то есть, формула.

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов формула.

Определение.

Если линейная комбинация формула может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел формула есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов формула называется линейно зависимой.

Определение.

Если линейная комбинация формула представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа формула равны нулю, то система векторов формула называется линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.


На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

  1. Если к линейно зависимой системе векторов формула добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

    Доказательство.

    Так как система векторов формула линейно зависима, то равенство формула возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел формула. Пусть формула.

    Добавим к исходной системе векторов еще s векторов формула, при этом получим систему формула. Так как формула и формула, то линейная комбинация векторов этой системы вида
    формула
    представляет собой нулевой вектор, а формула. Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

  2. Если из линейно независимой системы векторов формула исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

    Доказательство.

    Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

  3. Если в системе векторов формула есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

    Доказательство.

    Пусть вектор формула в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство формула возможно только тогда, когда формула. Однако, если взять любое формула, отличное от нуля, то равенство формула все равно будет справедливо, так как формула. Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

  4. Если система векторов формула линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов формула линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

    Доказательство.

    Сначала докажем первое утверждение.

    Пусть система векторов формула линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число формула и при этом верно равенство формула. Это равенство можно разрешить относительно формула, так как формула, при этом имеем
    формула
    Следовательно, вектор формула линейно выражается через остальные векторы системы формула, что и требовалось доказать.

    Теперь докажем второе утверждение.

    Так как система векторов формула линейно независима, то равенство формула возможно лишь при формула.

    Предположим, что какой-нибудь вектор системы формула выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является формула, тогда формула. Это равенство можно переписать как формула, в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором формула отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы формула и формула, где формула – произвольное число, то она линейно зависима.

Исследование системы векторов на линейную зависимость.

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов формула.

Логичный вопрос: «как ее решать?»

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

  1. когда хотя бы один из векторов системы является нулевым;
  2. когда система векторов содержит два или более равных вектора;
  3. когда система векторов содержит пропорциональные векторы (формула и формула);
  4. когда достаточно очевидно, что один из векторов системы линейно выражается через несколько других.

Как же быть в остальных случаях, которых большинство?

Разберемся с этим.

Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения.

Теорема.

Пусть r – ранг матрицы А порядка p на n, формула. Пусть М – базисный минор матрицы А. Все строки (все столбцы) матрицы А, которые не участвуют в образовании базисного минора М, линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы, порождающие базисный минор М.

А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Составим матрицу A, строками которой будут векторы исследуемой системы формула:
формула

Что будет означать линейная независимость системы векторов формула?

Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов формула мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно, линейная независимость системы векторов формула будет равносильна условию Rank(A)=p.

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов формула?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов формула будет равносильна условию Rank(A)<p.

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p>n система векторов формула будет линейно зависимой.

Замечание: при составлении матрицы А векторы системы формула можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.

Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.

  1. Сначала следует убедиться, что число векторов исследуемой системы формула не превосходит числа координат векторов. Если же p>n, то можно делать вывод о линейной зависимости.
  2. Проверяем, не содержит ли система векторов нулевого вектора, равных векторов, пропорциональных векторов (формула и формула). Если такие имеются, то также делается вывод о линейной зависимости системы.
  3. Если два предыдущих пункта алгоритма не привели к результату, то составляем матрицу A, строками которой являются векторы исследуемой системы векторов и находим ее ранг. Если Rank(A)<p, то система векторов формула линейно зависима. Если Rank(A)=p, то система векторов формула линейно независима.

Разберем алгоритм на примерах.

Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.

Пример.

Дана система векторов формула. Исследуйте ее на линейную зависимость.

Решение.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

Ответ:

система векторов линейно зависима.

Пример.

Исследуйте систему векторов формула на линейную зависимость.

Решение.

Не сложно заметить, что координаты вектора c равны соответствующим координатам вектора формула, умноженным на 3, то есть, формула. Поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Ответ:

система векторов линейно зависима.

Пример.

Является ли система векторов формула линейно зависимой?

Решение.

Эта система векторов является линейно зависимой, так как количество векторов в системе равно 4, а сами векторы двумерные.

Ответ:

да, является.

Пример.

Является ли система векторов формула линейно независимой?

Решение.

Примем эти векторы столбцами матрицы А и найдем ранг полученной матрицы методом Гаусса:
формула
Следовательно, Rank(A)=2<3, поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Ответ:

нет, не является.

Пример.

Докажите, что система векторов
формула
линейно независима.

Решение.

Составим матрицу, строками которой будут векторы данной системы:
формула
Покажем, что ранг этой матрицы равен количеству векторов исходной системы, то есть, четырем.

Ранг найдем методом окаймляющих миноров.

В качестве минора первого порядка, отличного от нуля, возьмем элемент a11=1 матрицы А. Окаймляющий его минор второго порядка формула также отличен от нуля.

Переходим к поиску окаймляющего минора третьего порядка:
формула
Осталось найти минор четвертого порядка, отличный от нуля. Вычислим определитель
формула
Прибавим к первому столбцу третий, далее разложим определитель по элементам первого столбца:
формула
Таким образом, ранг матрицы А равен четырем что доказывает линейную независимость исходной системы векторов.

Мы ознакомились с понятиями и свойствами линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, получили метод исследования системы векторов на линейную зависимость, преобразовали его в алгоритм, и подробно разобрали решения характерных примеров.

Список литературы.

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+