Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.


В этой статье мы разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении. Сначала мы получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого приведем подробные решения нескольких характерных примеров.


Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек формула и формула. Нам требуется найти координаты формула и формула точки С, которая делит отрезок АВ в отношении формула, где формула - некоторое положительное действительное число.

Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении формула». Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно формула (то есть, выполняется равенство формула). Обратите внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В – его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении формула, то будет выполняться равенство формула. Очевидно, что при формула точка С является серединой отрезка АВ.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы формула и формула. Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении формула.

изображение

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому, формула и формула. Найдем координаты вектора формула, которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении формула.

В силу операции сложения векторов можно записать равенства формула и формула. Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении формула, то формула, откуда формула. Векторы формула и формула лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что формула, поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство формула. Подставив в него формула, имеем формула. Тогда равенство формула можно переписать как формула, откуда в силу свойств операций над векторами получаем формула.

Осталось вычислить координаты вектора формула, выполнив необходимые операции над векторами формула и формула в координатах. Так как формула и формула, то формула, следовательно, формула.

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении формула, находятся по формулам формула и формула.

Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве.


Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы координаты точек формула и формула, а требуется найти координаты формула и формула точки С, которая делит отрезок АВ в отношении формула.

Если провести рассуждения, аналогичные случаю на плоскости, то также придем к равенству формула. Векторы формула и формула являются радиус-векторами точек А и В, поэтому, формула и формула. Тогда формула.

Следовательно, в трехмерном пространстве точка С, делящая отрезок АВ в заданном отношении формула, имеет координаты формула.

Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения.

Пришло время применить полученные формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.

Пример.

Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении пять к трем, если формула.

Решение.

По условию формула. Применим формулы для нахождения координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении формула, по известным координатам концов отрезка:
формула

Ответ:

формула.

Пример.

Точка формула делит отрезок АВ в отношении формула. Определите координаты точки А, если формула.

Решение.

В данном примере формула. Так как точка С делит отрезок АВ в данном отношении, то справедливы формулы формула и формула, из которых получаем формула и формула соответственно. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А:
формула

Ответ:

формула.

Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.

Известно, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан (обозначим ее как М), а каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника. Поэтому, если нам известны координаты точек, которые являются концами медианы, то мы можем найти координаты точки, делящей медиану в отношении два к одному.

Пример.

Найдите координаты центра тяжести треугольника АВС, если известны координаты его вершин формула.

Решение.

Пусть АD – медиана треугольника АВС, а точка формула – центр тяжести этого треугольника.

Точка М является точкой пересечения медиан треугольника АВС, следовательно, точка М делит отрезок AD в отношении два к одному, то есть, формула. Тогда мы можем найти координаты точки М по формулам формула. Однако мы не знаем координаты точки D. Найдем их.

Так как AD – медиана треугольника АВС, то D – середина стороны ВС, следовательно, координаты точки D равны полусуммам соответствующих координат точек В и С (смотрите статью нахождение координат середины отрезка):
формула

Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:
формула

Ответ:

формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+