Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.
В этой статье мы разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении. Сначала мы получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого приведем подробные решения нескольких характерных примеров.
Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
Начнем с постановки задачи на плоскости.
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек 
и 
. Нам требуется найти координаты 
и 
точки С, которая делит отрезок АВ в отношении 
, где - некоторое положительное действительное число.
Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении ». Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно (то есть, выполняется равенство 
). Обратите внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В – его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении , то будет выполняться равенство 
. Очевидно, что при 
точка С является серединой отрезка АВ.
Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.
Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы 
и 
. Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении .
Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому, 
и 
. Найдем координаты вектора 
, которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении .
В силу операции сложения векторов можно записать равенства 
и 
. Их мы используем в следующем абзаце.
Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то , откуда 
. Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что 
, поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство 
. Подставив в него 
, имеем 
. Тогда равенство можно переписать как 
, откуда в силу свойств операций над векторами получаем 
.
Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами 
и 
в координатах. Так как и , то 
, следовательно, 
.
Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , находятся по формулам 
и 
.
Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве.
Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы координаты точек 
и 
, а требуется найти координаты 
и 
точки С, которая делит отрезок АВ в отношении .
Если провести рассуждения, аналогичные случаю на плоскости, то также придем к равенству . Векторы и являются радиус-векторами точек А и В, поэтому, 
и 
. Тогда 
.
Следовательно, в трехмерном пространстве точка С, делящая отрезок АВ в заданном отношении , имеет координаты 
.
Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения.
Пришло время применить полученные формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.
Пример.
Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении пять к трем, если 
.
Решение.
По условию 
. Применим формулы для нахождения координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении , по известным координатам концов отрезка:
Ответ:
.
Пример.
Точка 
делит отрезок АВ в отношении 
. Определите координаты точки А, если 
.
Решение.
В данном примере 
. Так как точка С делит отрезок АВ в данном отношении, то справедливы формулы и , из которых получаем 
и 
соответственно. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А:
Ответ:
.
Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.
Известно, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан (обозначим ее как М), а каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника. Поэтому, если нам известны координаты точек, которые являются концами медианы, то мы можем найти координаты точки, делящей медиану в отношении два к одному.
Пример.
Найдите координаты центра тяжести треугольника АВС, если известны координаты его вершин 
.
Решение.
Пусть АD – медиана треугольника АВС, а точка 
– центр тяжести этого треугольника.
Точка М является точкой пересечения медиан треугольника АВС, следовательно, точка М делит отрезок AD в отношении два к одному, то есть, 
. Тогда мы можем найти координаты точки М по формулам 
. Однако мы не знаем координаты точки D. Найдем их.
Так как AD – медиана треугольника АВС, то D – середина стороны ВС, следовательно, координаты точки D равны полусуммам соответствующих координат точек В и С (смотрите статью нахождение координат середины отрезка):
Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:
Ответ:
.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Некогда разбираться?