Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Расстояние от точки до точки, формулы, примеры, решения.


Расстояние от точки до точки - это длина отрезка, соединяющего эти точки, в заданном масштабе. Таким образом, когда речь идет об измерении расстояния, то требуется знать масштаб (единицу длины), в котором будут проводиться измерения. Поэтому, задачу нахождения расстояния от точки до точки обычно рассматривают либо на координатной прямой, либо в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве. Другими словами, наиболее часто приходится вычислять расстояние между точками по их координатам.

В этой статье мы, во-первых, напомним, как определяется расстояние от точки до точки на координатной прямой. Далее получим формулы для вычисления расстояния между двумя точками плоскости или пространства по заданным координатам. В заключении, подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач.


Расстояние между двумя точками на координатной прямой.

Давайте для начала определимся с обозначениями. Расстояние от точки А до точки В будем обозначать как формула.

Пусть задана координатная прямая Ox (точка О – начало отсчета) и некоторая точка А на ней. Мы знаем, что каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число. Пусть точке А соответствует действительное число формула, то есть, точка А имеет координату формула.

изображение

Как же определяется расстояние от начала отсчета до точки А? Вообще, измерение расстояния основано на сравнении отрезков - отрезка, соответствующего измеряемому расстоянию от точки до точки, и отрезка, принятого за единицу измерения.

Для точки А, которой соответствует целое число, все очень просто. Мы от точки О вдоль прямой OA последовательно откладываем единичные отрезки, пока не попадем в точку А. Количество единичных отрезков и дает нам расстояние между точками О и А.

Это достаточно очевидно. К примеру, чтобы попасть в точку А, которой соответствует число 2, нам нужно преодолеть расстояние в две единицы от начала отсчета в положительном направлении. Если точка А имеет координату -5, то нам придется отложить один за другим пять единичных отрезков в отрицательном направлении. То есть, в первом случае расстояние равно двум, а во втором случае расстояние от точки О до точки А равно пяти.

Если точке А соответствует рациональное число, то мы можем попасть из начала координат в точку А при помощи последовательного откладывания некоторого количества целых единичных отрезков и его части.

К примеру, если точка А имеет координату формула, то нам придется отложить один целый единичный отрезок в отрицательном направлении и еще половину от единичного отрезка. В этом случае расстояние равно формула. Следует отметить, что геометрическими построениями далеко не всегда можно разбить единичный отрезок на необходимое количество частей (например, попробуйте получить формула единичного отрезка).

Еще интереснее обстоит дело с определением расстояния от точки О до точки А, которой соответствует иррациональное число. К примеру, пусть точке А соответствует число формула. С помощью откладывания единичного отрезка и его частей от начала отсчета попасть в эту точку не так то просто. В этом случае прибегаем к абстракции: если координата точки А является положительным числом (формула), то это число принимаем в качестве расстояния, то есть формула, если же координата точки А есть отрицательное число (формула), то формула.

Очевидно, что последнее утверждение справедливо для любого действительного числа формула.

Итак, расстояние от начала отсчета до точки А, которой соответствует действительное число формула на координатной прямой, равно

С помощью знака модуля расстояние от точки О до точки А с координатой формула можно записать как формула (смотрите статью модуль числа).

изображение

Отсюда можно заключить, что расстояние от точки А с координатой формула до точки В с координатой формула равно модулю разности координат, то есть, формула при любом расположении точек на координатной прямой.

изображение

Расстояние от точки до точки на плоскости, формула.


Получим формулу для вычисления расстояния между точками формула и формула, заданными в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

Проведем через точки А и В прямые, перпендикулярные координатным осям Ох и Оу. Обозначим проекции точки А на координатные прямые Ох и Оу как формула и формула соответственно, а проекции точки В - как формула и формула (при необходимости смотрите статью проекция точки на прямую).

В зависимости от расположения точек А и В возможны следующие варианты.

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю.

Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс, то точки формула и формула совпадают, а расстояние формула равно расстоянию формула. В предыдущем пункте мы выяснили, что расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому, формула. Следовательно, формула.

изображение

Аналогично, если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат, то расстояние от точки А до точки В находится как формула.

изображение

Сейчас будем считать, что точки А и В не совпадают и не лежат на прямой, перпендикулярной координатной оси. Найдем расстояние между ними.

изображение

В этом случае треугольник АВС – прямоугольный по построению, причем формула и формула. По теореме Пифагора мы можем записать равенство формула, откуда формула.

Обобщим все полученные результаты: расстояние от точки формула до точки формула на плоскости находится через координаты точек по формуле формула.

Полученную формулу для нахождения расстояния между точками, можно использовать когда точки А и В совпадают или лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Действительно, если А и В совпадают, то формула. Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ох, то формула. Если А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Оу, то формула.

Расстояние между точками в пространстве, формула.

Введем прямоугольную систему координат Оxyz в пространстве. Получим формулу для нахождения расстояния от точки формула до точки формула.

В общем случае, точки А и В не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные координатным осям Ох, Оу и Oz. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями дадут нам проекции точек А и В на эти оси. Обозначим проекции формула.

изображение

Искомое расстояние между точками А и В представляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке. По построению, измерения этого параллелепипеда равны формула и формула. В курсе геометрии средней школы было доказано, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, поэтому, формула. Опираясь на информацию первого раздела этой статьи, мы можем записать следующие равенства формула, следовательно,
формула
откуда получаем формулу для нахождения расстояния между точками в пространстве формула.

Эта формула также справедлива, если точки А и В

Нахождение расстояния от точки до точки, примеры и решения.

Итак, мы получили формулы для нахождения расстояния между двумя точками координатной прямой, плоскости и трехмерного пространства. Пришло время рассмотреть решения характерных примеров.

Число задач, при решении которых конечным этапом является нахождение расстояния между двумя точками по их координатам, поистине огромно. Полный обзор таких примеров выходит за рамки данной статьи. Здесь мы ограничимся примерами, в которых известны координаты двух точек и требуется вычислить расстояние между ними.

Пример.

На координатной прямой Ох заданы две точки формула и формула. Найдите расстояние от начала отсчета до точки А, а также расстояние между точками А и В.

Решение.

Расстояние от начала отсчета до точки А на координатной прямой равно модулю координаты этой точки, поэтому, формула.

Расстояние между двумя точками равно модулю разности их координат: формула.

Ответ:

формула.

Пример.

В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости заданы две точки формула и формула, где формула - некоторое действительное число. Найдите все значения формула, при которых расстояние между точками А и В равно 5 единицам.

Решение.

Расстояние от точки А до точки В по их координатам можно найти по формуле формула. Подставляем координаты: формула. С другой стороны по условию формула. Таким образом, значения формула находим из уравнения формула:
формула

Ответ:

расстояние между точками А и В равно 5 при формула.

Пример.

В трехмерном пространстве заданы координаты двух точек формула и формула. Найдите расстояние между ними.

Решение.

Для вычисления расстояния от точки А до точки В по координатам воспользуемся формулой формула:
формула

Ответ:

расстояние между точками равно девяти.

Список литературы.

  • Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. Часть 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+