Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Размерность и базис векторного пространства, разложение вектора по базису, примеры.


Когда мы разбирали понятия n-мерного вектора и вводили операции над векторами, то выяснили, что множество всех n-мерных векторов порождает линейное пространство. В этой статье мы поговорим о важнейших связанных понятиях – о размерности и базисе векторного пространства. Также рассмотрим теорему о разложении произвольного вектора по базису и связь между различными базисами n-мерного пространства. Подробно разберем решения характерных примеров.


Понятие размерности векторного пространства и базиса.

Понятия размерности и базиса векторного пространства напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что рекомендуем при необходимости обращаться к статье линейная зависимость системы векторов, свойства линейной зависимости и независимости.

Определение.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Приведем некоторые рассуждения, основываясь на этих определениях.

Рассмотрим пространство n-мерных векторов.

Покажем, что размерность этого пространства равна n.

Возьмем систему из n единичных векторов вида
формула
Примем эти векторы в качестве строк матрицы А. В этом случае матрица А будет единичной матрицей размерности n на n. Ранг этой матрицы равен n (при необходимости смотрите статью ранг матрицы: определение, методы нахождения). Следовательно, система векторов формула линейно независима, причем к этой системе нельзя добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости. Так как число векторов в системе формула равно n, то размерность пространства n-мерных векторов равна n, а единичные векторы формула являются базисом этого пространства.

Из последнего утверждения и определения базиса можно сделать вывод, что любая система n-мерных векторов, число векторов в которой меньше n, не является базисом.

Теперь переставим местами первый и второй вектор системы формула. Легко показать, что полученная система векторов формула также является базисом n-мерного векторного пространства. Составим матрицу, приняв ее строками векторы этой системы. Эта матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первой и второй строк, следовательно, ее ранг будет равен n. Таким образом, система из n векторов формула линейно независима и является базисом n-мерного векторного пространства.

Если переставить местами другие векторы системы формула, то получим еще один базис.

Если взять линейно независимую систему не единичных векторов, то она также является базисом n-мерного векторного пространства.

Таким образом, векторное пространство размерности n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n n-мерных векторов.

Если говорить о двумерном векторном пространстве (то есть, о плоскости), то ее базисом являются два любых не коллинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства являются три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Являются ли векторы формула базисом трехмерного векторного пространства?

Решение.

Исследуем эту систему векторов на линейную зависимость. Для этого составим матрицу, строками которой будут координаты векторов, и найдем ее ранг:
формула
Таким образом, векторы a, b и c линейно независимы и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, они являются базисом этого пространства.

Ответ:

да, являются.

Пример.

Может ли система векторов формула быть базисом векторного пространства?

Решение.

Эта система векторов линейно зависима, так как максимальное число линейно независимых трехмерных векторов равно трем. Следовательно, эта система векторов не может быть базисом трехмерного векторного пространства (хотя подсистема формула исходной системы векторов является базисом).

Ответ:

нет, не может.

Пример.

Убедитесь, что векторы
формула
могут быть базисом четырехмерного векторного пространства.

Решение.

Составим матрицу, приняв ее строками исходные векторы:
формула
Найдем ранг матрицы методом Гаусса:
формула
Таким образом, система векторов a, b, c, d линейно независима и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, a, b, c, d являются его базисом.

Ответ:

исходные векторы действительно являются базисом четырехмерного пространства.

Пример.

Составляют ли векторы формула базис векторного пространства размерности 4?

Решение.

Даже если исходная система векторов линейно независима, количество векторов в ней недостаточно для того, чтобы быть базисом четырехмерного пространства (базис такого пространства состоит из 4 векторов).

Ответ:

нет, не составляет.

Разложение вектора по базису векторного пространства.


Пусть произвольные векторы формула являются базисом n-мерного векторного пространства. Если к ним добавить некоторый n-мерный вектор x, то полученная система векторов будет линейно зависимой. Из свойств линейной зависимости мы знаем, что хотя бы один вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные. Иными словами, хотя бы один из векторов линейно зависимой системы раскладывается по остальным векторам.

Так мы подошли к очень важной теореме.

Теорема.

Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Доказательство.

Пусть формула - базис n-мерного векторного пространства. Добавим к этим векторам n-мерный вектор x. Тогда полученная система векторов будет линейно зависимой и вектор x может быть линейно выражен через векторы формула: формула, где формула - некоторые числа. Так мы получили разложение вектора x по базису. Осталось доказать, что это разложение единственно.

Предположим, что существует еще одно разложение формула, где формула - некоторые числа. Отнимем от левой и правой частей последнего равенства соответственно левую и правую части равенства формула:
формула

Так как система базисных векторов формула линейно независима, то по определению линейной независимости системы векторов полученное равенство возможно только тогда, когда все коэффициенты формула равны нулю. Поэтому, формула, что доказывает единственность разложения вектора по базису.

Определение.

Коэффициенты формула называются координатами вектора x в базисе формула.

После знакомства с теоремой о разложении вектора по базису, мы начинаем понимать суть выражения «нам задан n-мерный вектор формула». Это выражение означает, что мы рассматриваем вектор x n-мерного векторного пространства, координаты формула которого заданы в некотором базисе. При этом мы понимаем, что этот же вектор x в другом базисе n-мерного векторного пространства будет иметь координаты, отличные от формула.

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть в некотором базисе n-мерного векторного пространства нам задана система из n линейно независимых векторов
формула
и вектор формула. Тогда векторы формула также являются базисом этого векторного пространства.

Пусть нам требуется найти координаты вектора x в базисе формула. Обозначим эти координаты как формула.

Вектор x в базисе формула имеет представление формула. Запишем это равенство в координатной форме:
формула
Это равенство равносильно системе из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными формула:
формула
Основная матрица этой системы имеет вид
формула
Обозначим ее буквой А. Столбцы матрицы А представляют собой векторы линейно независимой системы векторов формула, поэтому ранг этой матрицы равен n, следовательно, ее определитель отличен от нуля. Этот факт указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено любым методом, например, методом Крамера или матричным методом.

Так будут найдены искомые координаты формула вектора x в базисе формула.

Разберем теорию на примерах.

Пример.

В некотором базисе трехмерного векторного пространства заданы векторы
формула
Убедитесь, что система векторов формула также является базисом этого пространства и найдите координаты вектора x в этом базисе.

Решение.

Чтобы система векторов формула была базисом трехмерного векторного пространства нужно, чтобы она была линейно независима. Выясним это, определив ранг матрицы A, строками которой являются векторы формула. Ранг найдем методом Гаусса
формула
следовательно, Rank(A) = 3, что показывает линейную независимость системы векторов формула.

Итак, векторы формула являются базисом. Пусть в этом базисе вектор x имеет координаты формула. Тогда, как мы показали выше, связь координат этого вектора задается системой уравнений
формула
Подставив в нее известные из условия значения, получим
формула
Решим ее методом Крамера:
формула
Таким образом, вектор x в базисе формула имеет координаты формула.

Ответ:

формула.

Пример.

В некотором базисе формула четырехмерного векторного пространства задана линейно независимая система векторов
формула
Известно, что формула. Найдите координаты вектора x в базисе формула.

Решение.

Так как система векторов формула линейно независима по условию, то она является базисом четырехмерного пространства. Тогда равенство формула означает, что вектор x в базисе формула имеет координаты формула. Обозначим координаты вектора x в базисе формула как формула.

Система уравнений, задающая связь координат вектора x в базисах формула и формула имеет вид
формула
Подставляем в нее известные значения и находим искомые координаты формула:
формула

Ответ:

формула.

Связь между базисами.

Пусть в некотором базисе n-мерного векторного пространства заданы две линейно независимые системы векторов
формула
и
формула
то есть, они тоже являются базисами этого пространства.

Если формула - координаты вектора формула в базисе формула, то связь координат формула и формула задается системой линейных уравнений (об этом мы говорили в предыдущем пункте):
формула
, которая в матричной форме может быть записана как
формула

Аналогично для вектора формула мы можем записать
формула

Действуя дальше аналогично, получим
формула

Предыдущие матричные равенства можно объединить в одно, которое по сути задает связь векторов двух различных базисов
формула

Аналогично мы можем выразить все векторы базиса формула через базис формула:
формула

Определение.

Матрицу формула называют матрицей перехода от базиса формула к базису формула,
а матрицу формула - матрицей перехода от базиса формула к базису формула.

Из двух последних равенств видно, что
формула
следовательно, матрицы перехода являются взаимно обратными.

Разберем пример.

Пример.

Найдите матрицу перехода от базиса формула к базису формула, а также укажите связь координат произвольного вектора x в этих базисах.

Решение.

Пусть T – матрица перехода от базиса формула к базису формула, тогда справедливо равенство
формула
Умножив обе части этого равенства справа на
формула
получим
формула
Найдем матрицу перехода, при этом не будем подробно останавливаться на нахождении обратной матрицы и умножении матриц (смотрите при необходимости статьи нахождение обратной матрицы и операции над матрицами):
формула

Осталось выяснить связь координат вектора x в заданных базисах.

Пусть в базисе формула вектор x имеет координаты формула, тогда
формула
а в базисе формула вектор x имеет координаты формула, тогда
формула
Так как левые части последних двух равенств одинаковы, то мы можем приравнять правые части:
формула
Если умножить обе части справа на
формула
то получим
формула
С другой стороны
формула
(найдите обратную матрицу самостоятельно).
Два последних равенства дают нам искомую связь координат вектора x в базисах формула и формула.

Ответ:

матрица перехода от базиса формула к базису формула имеет вид
формула;
координаты вектора x в базисах формула и формула связаны соотношениями
формула
или
формула.

Мы рассмотрели понятия размерности и базиса векторного пространства, научились раскладывать вектор по базису и обнаружили связь между разными базисами n-мерного пространства векторов через матрицу перехода.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+