Математика на cleverstudents.ru

Векторы, действия с векторами

Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения.

В этой статье мы уделим особое внимание условию перпендикулярности двух векторов на плоскости и в трехмерном пространстве, а также нахождению координат вектора, перпендикулярного одному или паре заданных векторов. Эта тема важна, так как существует значительное количество задач (к примеру, задачи, связанные с уравнениями прямых и плоскостей), решение которых основано на нахождении векторов, перпендикулярных уже известным векторам.

Сначала мы разберемся с необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов. Далее из условия перпендикулярности получим метод нахождения вектора, перпендикулярного заданному вектору на плоскости и в пространстве. В заключении рассмотрим способ отыскания вектора, перпендикулярного одновременно двум векторам. Обязательно приведем подробные решения примеров.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

Напомним определение перпендикулярных векторов на плоскости и в трехмерном пространстве.

Какие же мысли навевает это определение, когда нужно узнать, перпендикулярны два изображенных вектора или нет?

Если от некоторой точки плоскости отложить векторы равные заданным векторам, то с помощью транспортира можно измерить угол между ними. Это позволит с некоторой степенью точности установить перпендикулярность векторов (если при измерении получили угол девяносто градусов). При этом конечно же следует учитывать точность построения и точность измерения. Такой метод для определения перпендикулярности двух векторов следует использовать только тогда, когда мы ничего не знаем об этих векторах, а имеем только их изображение на плоскости.

На практике часто приходится доказывать перпендикулярность двух ненулевых векторов, когда известны их координаты в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этом случае используется необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов. Сформулируем его в виде теоремы.

Как же выглядит условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме?

В разделе скалярное произведение в координатах мы показали, что для двух векторов с заданными координатами и на плоскости справедливо равенство , а для двух векторов и в пространстве . Таким образом, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид на плоскости, а в трехмерном пространстве .

Рассмотрим применение полученных условий на практике, для этого разберем решение нескольких примеров.

В некоторых случаях возможно ответить на вопрос о перпендикулярности двух векторов без использования необходимого и достаточного условия перпендикулярности. Например, когда известны длины всех сторон треугольника, построенного на двух векторах, то можно найти угол между векторами и посмотреть, равен ли он девяноста градусам.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному.

Значительную ценность представляет умение находить координаты вектора, перпендикулярного заданному вектору. Покажем как это делается на плоскости и в пространстве с использованием условия перпендикулярности векторов в координатной форме.

Начнем с нахождения вектора, перпендикулярного данному, на плоскости.

Следует понимать, что для заданного ненулевого вектора на плоскости существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Покажем это. Пусть вектор лежит на прямой a. Тогда любой ненулевой вектор , лежащий на любой из прямых, перпендикулярных прямой a, будет перпендикулярен вектору . К примеру, координатному вектору перпендикулярен вектор , а также любой из векторов , где - произвольное действительное число, отличное от нуля.

Таким образом, задача нахождения координат вектора , перпендикулярного вектору на плоскости имеет бесконечное множество решений. Так как же найти координаты хоть какого-нибудь вектора, перпендикулярного вектору ?

Для этого записываем условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме , где и - искомые координаты перпендикулярного вектора. Далее, если , то придаем координате произвольное ненулевое значение, а координату находим из равенства . Если же , а , то придаем координате произвольное значение, отличное от нуля, а координату находим как .

Аналогично ищется вектор, перпендикулярный заданному вектору в трехмерном пространстве.

Для вектора существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Покажем это. Пусть вектор лежит на прямой a. Обозначим буквой произвольную плоскость, перпендикулярную прямой a. Тогда любой ненулевой вектор , принадлежащий плоскости , перпендикулярен вектору .

Покажем, как с помощью условия перпендикулярности векторов находятся координаты некоторого вектора , перпендикулярного данному ненулевому вектору .

Пусть вектор имеет координаты и . Найдем их.

По условию перпендикулярности двух векторов должно выполняться равенство . Так как вектор ненулевой, то хотя бы одна из его координат отлична от нуля. Пусть (можно принять или ). Тогда можно разделить на эту координату обе части равенства , при этом получим . Таким образом, придав координатам и произвольные значения, хотя бы одно из которых отлично от нуля, и вычислив при этом по формуле , мы получим вектор, перпендикулярный заданному вектору .

Разберем на примере.

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам.

Начнем с постановки задачи.

Пусть нам требуется найти координаты вектора в трехмерном пространстве, который одновременно перпендикулярен двум не коллинеарным векторам и . Если векторы и коллинеарные, то решением задачи будет вектор, перпендикулярный одному из векторов или (о нахождении такого вектора мы говорили в предыдущем пункте).

Одно из решений такой задачи основано на использовании понятия векторного произведения векторов.

Нам известно, что векторное произведение векторов и представляет собой вектор, перпендикулярный одновременно и вектору и . Таким образом, векторное произведение является решением нашей задачи. В координатной форме оно имеет вид

Разберем на примере.

Некогда разбираться?

Закажите решение