Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения.


В этой статье мы уделим особое внимание условию перпендикулярности двух векторов на плоскости и в трехмерном пространстве, а также нахождению координат вектора, перпендикулярного одному или паре заданных векторов. Эта тема важна, так как существует значительное количество задач (к примеру, задачи, связанные с уравнениями прямых и плоскостей), решение которых основано на нахождении векторов, перпендикулярных уже известным векторам.

Сначала мы разберемся с необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов. Далее из условия перпендикулярности получим метод нахождения вектора, перпендикулярного заданному вектору на плоскости и в пространстве. В заключении рассмотрим способ отыскания вектора, перпендикулярного одновременно двум векторам. Обязательно приведем подробные решения примеров.


Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

Напомним определение перпендикулярных векторов на плоскости и в трехмерном пространстве.

Определение.

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам (формула радиан).

Какие же мысли навевает это определение, когда нужно узнать, перпендикулярны два изображенных вектора или нет?

Если от некоторой точки плоскости отложить векторы равные заданным векторам, то с помощью транспортира можно измерить угол между ними. Это позволит с некоторой степенью точности установить перпендикулярность векторов (если при измерении получили угол девяносто градусов). При этом конечно же следует учитывать точность построения и точность измерения. Такой метод для определения перпендикулярности двух векторов следует использовать только тогда, когда мы ничего не знаем об этих векторах, а имеем только их изображение на плоскости.

На практике часто приходится доказывать перпендикулярность двух ненулевых векторов, когда известны их координаты в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этом случае используется необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов формула и формула необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство формула.

Доказательство.

Пусть векторы формула и формула перпендикулярны. Докажем выполнение равенства формула.

По определению скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как векторы формула и формула перпендикулярны, то угол между ними равен девяноста градусам, следовательно, формула, что и требовалось доказать.

Переходим ко второй части доказательства.

Теперь считаем, что формула. Докажем, что векторы формула и формула перпендикулярны.

Так как векторы формула и формула ненулевые, то из равенства формула следует, что формула. Таким образом, косинус угла между векторами формула и формула равен нулю, следовательно, угол формула равен формула, что указывает на перпендикулярность векторов формула и формула.

Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов полностью доказано.

Как же выглядит условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме?

В разделе скалярное произведение в координатах мы показали, что для двух векторов с заданными координатами формула и формула на плоскости справедливо равенство формула, а для двух векторов формула и формула в пространстве формула. Таким образом, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид формула на плоскости, а в трехмерном пространстве формула.

Рассмотрим применение полученных условий на практике, для этого разберем решение нескольких примеров.

Пример.

Перпендикулярны ли векторы формула.

Решение.

Вычислим их скалярное произведение по координатам формула. Следовательно, условие перпендикулярности двух векторов на плоскости выполнено, то есть, они перпендикулярны.

Ответ:

да, векторы перпендикулярны.

Пример.

Перпендикулярны ли векторы формула и формула, где формула - координатные векторы прямоугольной системы координат в трехмерном пространстве.

Решение.

Векторы формула и формула имеют соответственно координаты формула и формула (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат). Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов:
формула

Так как формула, то векторы формула и формула не перпендикулярны.

Ответ:

нет, не перпендикулярны.

Пример.

Найдите значение формула, при котором векторы формула и формула перпендикулярны.

Решение.

Воспользуемся условием перпендикулярности двух векторов в пространстве в координатной форме
формула

Ответ:

векторы перпендикулярны при формула.

В некоторых случаях возможно ответить на вопрос о перпендикулярности двух векторов без использования необходимого и достаточного условия перпендикулярности. Например, когда известны длины всех сторон треугольника, построенного на двух векторах, то можно найти угол между векторами и посмотреть, равен ли он девяноста градусам.

Пример.

Стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС равны соответственно 8, 6 и 10 см. Убедитесь, что векторы формула и формула перпендикулярны.

Решение.

Если векторы формула и формула перпендикулярны, то треугольник АВС – прямоугольный и его гипотенузой является сторона ВС. Тогда по теореме Пифагора должно выполняться равенство формула. Проверим его справедливость: формула.

Следовательно, АВ и АС – катеты прямоугольного треугольника АВС, поэтому, векторы формула и формула перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному.


Значительную ценность представляет умение находить координаты вектора, перпендикулярного заданному вектору. Покажем как это делается на плоскости и в пространстве с использованием условия перпендикулярности векторов в координатной форме.

Начнем с нахождения вектора, перпендикулярного данному, на плоскости.

Следует понимать, что для заданного ненулевого вектора формула на плоскости существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Покажем это. Пусть вектор формула лежит на прямой a. Тогда любой ненулевой вектор формула, лежащий на любой из прямых, перпендикулярных прямой a, будет перпендикулярен вектору формула. К примеру, координатному вектору формула перпендикулярен вектор формула, а также любой из векторов формула, где формула - произвольное действительное число, отличное от нуля.

изображение

Таким образом, задача нахождения координат вектора формула, перпендикулярного вектору формула на плоскости имеет бесконечное множество решений. Так как же найти координаты хоть какого-нибудь вектора, перпендикулярного вектору формула?

Для этого записываем условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме формула, где формула и формула - искомые координаты перпендикулярного вектора. Далее, если формула, то придаем координате формула произвольное ненулевое значение, а координату формула находим из равенства формула. Если же формула, а формула, то придаем координате формула произвольное значение, отличное от нуля, а координату формула находим как формула.

Пример.

Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный вектору формула.

Решение.

Пусть искомым вектором является вектор формула. Найдем его координаты.

По условию перпендикулярности векторов формула и формула имеем формула. Примем формула, тогда формула, откуда формула. Таким образом, вектор формула - один из векторов, перпендикулярных вектору формула.

Ответ:

формула.

Аналогично ищется вектор, перпендикулярный заданному вектору формула в трехмерном пространстве.

Для вектора формула существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Покажем это. Пусть вектор формула лежит на прямой a. Обозначим буквой формула произвольную плоскость, перпендикулярную прямой a. Тогда любой ненулевой вектор формула, принадлежащий плоскости формула, перпендикулярен вектору формула.

изображение

Покажем, как с помощью условия перпендикулярности векторов находятся координаты некоторого вектора формула, перпендикулярного данному ненулевому вектору формула.

Пусть вектор формула имеет координаты формула и формула. Найдем их.

По условию перпендикулярности двух векторов должно выполняться равенство формула. Так как вектор формула ненулевой, то хотя бы одна из его координат отлична от нуля. Пусть формула (можно принять формула или формула). Тогда можно разделить на эту координату обе части равенства формула, при этом получим формула. Таким образом, придав координатам формула и формула произвольные значения, хотя бы одно из которых отлично от нуля, и вычислив при этом формула по формуле формула, мы получим вектор, перпендикулярный заданному вектору формула.

Разберем на примере.

Пример.

Найдите координаты какого-нибудь вектора, перпендикулярного вектору формула.

Решение.

Пусть искомым вектором является формула. По условию перпендикулярности двух векторов должно выполняться условие
формула

Примем формула, тогда формула.

Таким образом, формула - один из векторов, перпендикулярных вектору формула.

Ответ:

формула.

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам.

Начнем с постановки задачи.

Пусть нам требуется найти координаты вектора в трехмерном пространстве, который одновременно перпендикулярен двум не коллинеарным векторам формула и формула. Если векторы формула и формула коллинеарные, то решением задачи будет вектор, перпендикулярный одному из векторов формула или формула (о нахождении такого вектора мы говорили в предыдущем пункте).

Одно из решений такой задачи основано на использовании понятия векторного произведения векторов.

Нам известно, что векторное произведение векторов формула и формула представляет собой вектор, перпендикулярный одновременно и вектору формула и формула. Таким образом, векторное произведение формула является решением нашей задачи. В координатной форме оно имеет вид
формула

Разберем на примере.

Пример.

Найдите координаты какого-нибудь вектора, перпендикулярного одновременно двум векторам формула и формула.

Решение.

Решением нашей задачи является векторное произведение заданных векторов. Найдем его (при необходимости смотрите статью вычисление определителя матрицы):
формула

Ответ:

формула - один из векторов, одновременно перпендикулярный и вектору формула и формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+