Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Компланарные векторы, исследование системы векторов на компланарность.


В этой статье мы поговорим о компланарности векторов. Сначала вспомним определение компланарности и получим необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в трехмерном пространстве. Далее разберемся с задачей исследования системы из n векторов на компланарность, рассмотрим решения характерных примеров.


Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

Напомним определение компланарных векторов.

Определение.

Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.

Два вектора формула и формула трехмерного пространства всегда компланарны. Это утверждение легко доказать. Пусть a и b – прямые, на которых лежат векторы формула и формула соответственно. Проведем через начало вектора формула прямую b1, параллельную прямой b, а через начало вектора формула прямую a1, праллельную прямой a. Плоскости, образуемые прямыми a и b1, а так же прямыми b и a1, параллельны по построению, а векторы формула и формула принадлежат им. Следовательно, векторы формула и формула компланарны.

А как же определить, являются ли три вектора компланарными?

Для этого существует необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в пространстве. Оно основано на понятии смешанного произведения векторов. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для компланарности трех векторов формула и формула трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство.

Пусть формула, докажем что векторы формула и формула компланарны.

Так как формула, то векторы формула и формула перпендикулярны в силу необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов. С другой стороны, по определению векторного произведения вектор формула перпендикулярен и вектору формула и вектору формула. Следовательно, векторы формула и формула компланарны, так как перпендикулярны одному вектору формула.

Пусть теперь векторы формула и формула компланарны, докажем равенство нулю смешанного произведения формула.

Так как векторы формула и формула компланарны, то вектор формула перпендикулярен каждому из них, следовательно, скалярное произведение вектора формула на формула равно нулю, что означает равенство нулю смешанного произведения формула.

Итак, теорема полностью доказана.

Покажем применение доказанного условия компланарности трех векторов к решению задач.

Пример.

Компланарны ли векторы формула, заданные в прямоугольной системе координат.

Решение.

Вычислим их смешанное произведение по координатам:
формула

Так как мы получили ноль, то условие компланарности выполнено, следовательно, заданные векторы компланарны.

Ответ:

векторы компланарны.

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов можно использовать для проверки принадлежности четырех точек пространства А, В, С и D одной плоскости. Для этого находим координаты векторов формула и вычисляем их смешанное произведение. Если оно равно нулю, то точки лежат в одной плоскости, в противном случае – не лежат в одной плоскости.

Пример.

Принадлежат ли точки формула одной плоскости?

Решение.

Найдем координаты векторов формула (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца):
формула

Теперь вычисляем смешанное произведение этих векторов
формула

Так как смешанное произведение векторов отлично от нуля, то векторы формула не компланарны, следовательно, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.

Ответ:

не принадлежат.

Исследование системы векторов на компланарность, примеры и решения.


А как же быть, если требуется установить компланарность системы векторов, число векторов которой больше трех?

Давайте ответим на этот вопрос и получим условие компланарности системы из n векторов трехмерного пространства.

В предыдущем пункте мы показали, что для компланарности трех векторов формула и формула необходимо и достаточно равенство нулю их смешанного произведения: формула. Так как смешанное произведение трех векторов в координатной форме представляет собой определитель матрицы, строками которой являются координаты векторов формула и формула, то условие компланарности можно записать в виде формула. Вспомнив понятие ранга матрицы, последнее равенство можно интерпретировать следующим образом: ранг матрицы, строками которой являются координаты компланарных векторов формула и формула, меньше трех.

Обобщив последнее утверждение, мы получим необходимое и достаточное условие компланарности системы из n векторов трехмерного пространства: для компланарности системы из n векторов трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, строками которой являются координаты векторов системы, был меньше трех.

Пример.

Компланарны ли векторы
формула

Решение.

Составим матрицу, строками которой примем координаты данных векторов
формула

Найдем ранг этой матрицы методом окаймляющих миноров.

Сразу легко отыскать минор второго порядка, отличный от нуля, формула.

Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:
формула

Все они равны нулю, следовательно, ранг матрицы равен двум, поэтому, векторы заданной системы векторов компланарны в силу выполнения необходимого и достаточного условия компланарности.

Ответ:

компланарны.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+