Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Условие коллинеарности векторов.


Эта статья о коллинеарных векторах и об условии коллинеарности векторов. Сначала мы получим необходимые и достаточные условия коллинеарности двух векторов, с помощью которых мы сможем не только устанавливать коллинеарность двух векторов, но и находить вектор, коллинеарный данному. После разбора теории покажем подробные решения характерных примеров и задач.


Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Напомним определение коллинеарных векторов, которое было дано в статье векторы – основные определения.

Определение.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Это определение позволяет установить коллинеарность векторов по их изображению на плоскости с некоторой степенью точности, которая зависит от качества чертежа. Поэтому, мы нуждаемся в алгебраическом (а не в геометрическом) условии, выполнение которого будет указывать на коллинеарность двух векторов. Получим его.

Так как операция умножения вектора на число соответствует сжатию или растяжению вектора при неизменном или противоположном направлении, то вектор формула, где формула - произвольное действительное число, коллинеарен вектору формула. Справедливо и обратное утверждение: если вектор формула коллинеарен ненулевому вектору формула, то он может быть представлен в виде формула.

Таким образом, мы пришли к необходимому и достаточному условию коллинеарности двух ненулевых векторов: для коллинеарности двух векторов формула и формула необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами формула или формула.

Перейдем к координатной форме полученного условия коллинеарности двух векторов.

Пусть вектор формула задан в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости и имеет координаты формула, тогда вектор формула имеет координаты формула (при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах). Аналогично, если вектор формула задан в прямоугольной системе координат трехмерного пространства как формула, то вектор формула имеет координаты формула.

Следовательно, для коллинеарности двух ненулевых векторов формула и формула на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: формула или формула.

Для коллинеарности двух ненулевых векторов формула и формула в пространстве необходимо и достаточно, чтобы формула или формула.

Получим еще одно условие коллинеарности двух векторов, основанное на понятии векторного произведения векторов формула и формула.

Если ненулевые векторы формула и формула коллинеарны, то по определению векторного произведения формула, что равносильно равенству формула. А последнее равенство возможно лишь тогда, когда векторы формула и формула связаны соотношениями формула или формула, где формула - произвольное действительное число (это следует из теоремы о ранге матрицы), что указывает на коллинеарность векторов формула и формула. Таким образом, два ненулевых вектора формула и формула коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Перейдем к применению условий коллинеарности векторов при решении примеров.

Пример.

Коллинеарны ли векторы формула и формула.

Решение.

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов на плоскости в координатах формула:
формула

Таким образом, формула, следовательно, векторы коллинеарны.

Ответ:

векторы формула и формула коллинеарные.

Пример.

Убедитесь, что векторы формула и формула коллинеарны.

Решение.

Справедливо равенство формула, так как формула. Таким образом, необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов выполнено, следовательно, исходные векторы коллинеарны.

Можно также найти векторное произведение векторов и убедиться, что оно равно нулевому вектору:
формула

Ответ:

векторы формула и формула действительно коллинеарны.

Пример.

При каком значении параметра p векторы формула и формула коллинеарны?

Решение.

Заданные векторы коллинеарны, если они связаны соотношением формула. Из второго уравнения системы имеем формула, тогда из первого уравнения системы находим формула.

Ответ:

векторы коллинеарны при формула.

Нахождение вектора, коллинеарного данному, примеры, решения.


Задача нахождения какого-либо вектора, коллинеарного данному вектору, решается очень просто. Выше мы показали, что вектору формула коллинеарен любой вектор формула, где формула - произвольное действительное число. Таким образом, если в качестве формула взять конкретное число, то мы получим вектор, коллинеарный данному вектору.

Пример.

Найдите какой-нибудь ненулевой вектор, коллинеарный вектору формула.

Решение.

Решением нашей задачи является, например, вектор формула или вектор формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Найдите координаты вектора единичной длины, коллинеарного вектору формула.

Решение.

Мы можем вычислить длину вектора формула по его координатам (при необходимости смотрите статью нахождение длины вектора, примеры, решения): формула. Если каждую из координат вектора формула разделить на длину этого вектора, то мы получим вектор единичной длины, коллинеарный вектору формула:
формула

Ответ:

формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+