Условие коллинеарности векторов.
Эта статья о коллинеарных векторах и об условии коллинеарности векторов. Сначала мы получим необходимые и достаточные условия коллинеарности двух векторов, с помощью которых мы сможем не только устанавливать коллинеарность двух векторов, но и находить вектор, коллинеарный данному. После разбора теории покажем подробные решения характерных примеров и задач.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.
Напомним определение коллинеарных векторов, которое было дано в статье векторы – основные определения.
Определение.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.
Это определение позволяет установить коллинеарность векторов по их изображению на плоскости с некоторой степенью точности, которая зависит от качества чертежа. Поэтому, мы нуждаемся в алгебраическом (а не в геометрическом) условии, выполнение которого будет указывать на коллинеарность двух векторов. Получим его.
Так как операция умножения вектора на число соответствует сжатию или растяжению вектора при неизменном или противоположном направлении, то вектор 
, где 
- произвольное действительное число, коллинеарен вектору 
. Справедливо и обратное утверждение: если вектор 
коллинеарен ненулевому вектору , то он может быть представлен в виде 
.
Таким образом, мы пришли к необходимому и достаточному условию коллинеарности двух ненулевых векторов: для коллинеарности двух векторов и необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами или 
.
Перейдем к координатной форме полученного условия коллинеарности двух векторов.
Пусть вектор задан в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости и имеет координаты 
, тогда вектор имеет координаты 
(при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах). Аналогично, если вектор задан в прямоугольной системе координат трехмерного пространства как 
, то вектор имеет координаты 
.
Следовательно, для коллинеарности двух ненулевых векторов 
и 
на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: 
или 
.
Для коллинеарности двух ненулевых векторов и 
в пространстве необходимо и достаточно, чтобы 
или 
.
Получим еще одно условие коллинеарности двух векторов, основанное на понятии векторного произведения векторов и .
Если ненулевые векторы и коллинеарны, то по определению векторного произведения 
, что равносильно равенству 
. А последнее равенство возможно лишь тогда, когда векторы и связаны соотношениями или 
, где 
- произвольное действительное число (это следует из теоремы о ранге матрицы), что указывает на коллинеарность векторов и . Таким образом, два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Перейдем к применению условий коллинеарности векторов при решении примеров.
Пример.
Коллинеарны ли векторы 
и 
.
Решение.
Проверим выполнение необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов на плоскости в координатах :
Таким образом, 
, следовательно, векторы коллинеарны.
Ответ:
векторы и коллинеарные.
Пример.
Убедитесь, что векторы 
и 
коллинеарны.
Решение.
Справедливо равенство 
, так как 
. Таким образом, необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов выполнено, следовательно, исходные векторы коллинеарны.
Можно также найти векторное произведение векторов и убедиться, что оно равно нулевому вектору:
Ответ:
векторы и действительно коллинеарны.
Пример.
При каком значении параметра p векторы 
и 
коллинеарны?
Решение.
Заданные векторы коллинеарны, если они связаны соотношением 
. Из второго уравнения системы имеем 
, тогда из первого уравнения системы находим 
.
Ответ:
векторы коллинеарны при 
.
Нахождение вектора, коллинеарного данному, примеры, решения.
Задача нахождения какого-либо вектора, коллинеарного данному вектору, решается очень просто. Выше мы показали, что вектору коллинеарен любой вектор , где - произвольное действительное число. Таким образом, если в качестве взять конкретное число, то мы получим вектор, коллинеарный данному вектору.
Пример.
Найдите какой-нибудь ненулевой вектор, коллинеарный вектору 
.
Решение.
Решением нашей задачи является, например, вектор 
или вектор 
.
Ответ:
.
Пример.
Найдите координаты вектора единичной длины, коллинеарного вектору 
.
Решение.
Мы можем вычислить длину вектора по его координатам (при необходимости смотрите статью нахождение длины вектора, примеры, решения): 
. Если каждую из координат вектора разделить на длину этого вектора, то мы получим вектор единичной длины, коллинеарный вектору :
Ответ:
.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
Некогда разбираться?