Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Смешанное произведение векторов, его свойства, примеры и решения.


При описании смешанного произведения векторов мы будем постоянно ссылаться на разделы статей скалярное произведение векторов и векторное произведение векторов, так как скалярное, векторное и смешанное произведение неразрывно связаны. В этой статье дано определение смешанного произведения, получена формула для его нахождения по координатам векторов, перечислены свойства, показан геометрический смысл и подробно разобраны решения характерных примеров и задач.


Определение смешанного произведения.

Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве.

Определение.

Смешанным произведением трех векторов формула и формула называется действительное число, равное скалярному произведению векторов формула и формула, где формула - векторное произведение векторов формула и формула.

Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением.

Смешанное произведение векторов формула и формула обычно обозначают формула. В таких обозначениях по определению смешанного произведения формула.

Смешанное произведение в координатной форме.


Покажем, как находится смешанное произведение, если известны координаты умножаемых векторов в прямоугольной системе координат. Пусть формула - координатные векторы.

Векторное произведение в координатах имеет вид
формула
а скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат равно сумме произведений соответствующих координат, поэтому,
формула

Таким образом, смешанное произведение векторов равно определителю матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты умножаемых векторов, то есть,
формула.

Свойства смешанного произведения.

Из свойств векторного произведения и свойств скалярного произведения следуют следующие свойства смешанного произведения:


  1. формула;

  2. формула;

  3. формула

Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение также равно нулю, если хотя бы два умножаемых вектора равны.

Действительно, если формула, то по определению векторного произведения формула, следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как формула. Если же формула или формула, то угол между векторами формула и формула равен формула, следовательно, по определению скалярного произведения векторов формула.

Свойства смешанного произведения обычно применяются при доказательстве тождеств или неравенств.

Рассмотрим несколько характерных задач.

Пример.

Докажите равенство формула, где формула - некоторое действительное число.

Решение.

Преобразуем левую часть равенства, обратившись к третьему свойству смешанного произведения:
формула

Выше мы показали, что формула, следовательно,
формула

По первому свойству смешанного произведения формула, а формула. Таким образом, формула.

Поэтому,
формула

Что и требовалось доказать.

Пример.

Докажите, что модуль смешанного произведения трех векторов не превосходит произведения длин этих векторов.

Решение.

Иными словами, нам требуется доказать неравенство формула.

По определению скалярного и векторного произведения векторов, мы можем записать
формула

Из свойств основных элементарных функций мы знаем, что формула. Следовательно,
формула
что и требовалось доказать.

Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.

Проще всего смешанное произведение находится, когда известны координаты векторов. Для вычисления используется формула формула.

Пример.

Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат формула. Найдите смешанное произведение формула.

Решение.

Мы выяснили, что смешанное произведение векторов может быть вычислено через определитель матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты векторов, то есть,
формула

Ответ:

формула.

Пример.

Найдите векторно-скалярное произведение векторов формула, где формула - орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение.

Данные векторы имеют следующие координаты (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат)
формула

Осталось воспользоваться формулой для вычисления смешанного произведения через координаты векторов
формула

Ответ:

формула.

Смешанное произведение векторов также может быть вычислено, если известны длины векторов и углы между ними. Рассмотрим решение характерного примера.

Пример.

В правой прямоугольной декартовой системе координат заданы три взаимно перпендикулярных вектора формула и формула, образующих правую тройку, их длины равны соответственно 4, 2 и 3. Найдите их смешанное произведение формула.

Решение.

Обозначим формула.

Нам известно, что скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними, поэтому формула.

Сразу подставим значение длины вектора формула, известное из условия: формула.

У нас остались неизвестные формула и формула. Найдем их.

По условию формула, тогда по определению векторного произведения находим длину вектора формула:
формула

Из определения векторного произведения мы можем заключить, что вектор формула перпендикулярен вектору формула и вектору формула, причем тройка векторов формула будет правой, так как векторы формула и формула заданы в правой прямоугольной декартовой системе координат. Следовательно, векторы формула и формула будут сонаправленными, то есть, формула.

Подставляем полученные результаты и получаем искомое смешанное произведение: формула.

Ответ:

формула.

Геометрический смысл смешанного произведения.

Выясним геометрический смысл смешанного произведения векторов формула и формула.

Отложим векторы формула и формула от одной точки и построим параллелепипед на этих векторах как на сторонах.

Обозначим формула. В этом случае смешанное произведение можно записать как формула, где формула - числовая проекция вектора формула на направление вектора формула.

Абсолютная величина числовой проекции формула равна высоте параллелепипеда, построенного на векторах формула и формула, так как вектор формула перпендикулярен и вектору формула и вектору формула по определению векторного произведения. А в разделе геометрический смысл векторного произведения мы выяснили, что величина формула представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах формула и формула. Таким образом, модуль смешанного произведения формула - это произведение площади основания на высоту параллелепипеда, построенного на векторах формула и формула.

Следовательно, абсолютная величина смешанного произведения векторов представляет собой объем параллелепипеда: формула. В этом заключается геометрический смысл смешанного произведения векторов.

Объем тетраэдра, построенного на векторах формула и формула, равен одной шестой объема соответствующего параллелепипеда, таким образом, формула.

изображение

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах формула, заданных в прямоугольной системе координат.

Решение.

Искомый объем параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения заданный векторов. Находим смешанное произведение:
формула

Тогда, формула.

Ответ:

формула.

Пример.

В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре точки формула. Найдите объем тетраэдра АВСD.

Решение.

Объем тетраэдра АВСD мы можем вычислить с использованием смешанного произведения векторов по формуле формула.

Найдем координаты векторов по координатам точек
формула

Вычисляем смешанное произведение формула по координатам векторов:
формула

Таким образом, искомый объем тетраэдра равен формула.

Ответ:

формула.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+