Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Нахождение угла между векторами, примеры и решения.


Когда мы говорим о векторах как о направленных отрезках, то такие понятия как длина вектора и угол между векторами кажутся естественными и интуитивно понятными. В этой статье мы дадим определение угла между векторами на плоскости и в трехмерном пространстве, приведем графическую иллюстрацию. Основное внимание сосредоточим на методах нахождения косинуса угла (и самого угла) между векторами, подробно разберем решения характерных примеров и задач.


Угол между векторами на плоскости и в пространстве.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора изображение и изображение. Отложим от произвольной точки O векторы изображение и изображение. Тогда справедливо следующее определение.

Определение.

Углом между векторами изображение и изображение называется угол между лучами OA и OB.

Угол между векторами изображение и изображение будем обозначать как изображение.

изображение

Понятно, что угол между векторами может принимать значения от 0 до изображение или, что то же самое, от изображение до изображение.

изображение когда векторы изображение и изображение сонаправленные, изображение когда векторы изображение и изображение противоположно направленные.

Определение.

Векторы изображение и изображение называются перпендикулярными, если угол между ними равен изображение (изображение радиан).

Если хотя бы один из векторов изображение и изображение нулевой, то угол изображение не определен.

Нахождение угла между векторами, примеры и решения.


Косинус угла между векторами изображение и изображение, а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах изображение и изображение.

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть изображение. Если векторы изображение и изображение ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов изображение и изображение, и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: изображение. Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Пример.

Вычислите косинус угла между векторами изображение и изображение, а также найдите сам угол, если длины векторов изображение и изображение равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9.

Решение.

В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы изображение. Вычисляем косинус угла между векторами изображение и изображение: изображение.

Теперь находим угол между векторами: изображение.

Ответ:

изображение.

Намного чаще встречаются задачи, где векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этих случаях для нахождения косинуса угла между векторами можно использовать все ту же формулу изображение, но в координатной форме. Получим ее.

В статье вычисление длины вектора мы выяснили, что длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат, а в разделе скалярное произведение в координатах мы показали, что скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Следовательно, формула для вычисления косинуса угла между векторами изображение на плоскости имеет вид изображение, а для векторов изображение в трехмерном пространстве - изображение.

Разберем на примерах.

Пример.

Найдите угол между векторами изображение, заданными в прямоугольной системе координат.

Решение.

Можно сразу воспользоваться формулой изображение:
изображение

А можно для нахождения косинуса угла между векторами использовать формулу изображение, предварительно вычислив длины векторов и скалярное произведение по координатам:
изображение

Ответ:

изображение.

К предыдущему случаю сводится задача, когда даны координаты трех точек (например А, В и С) в прямоугольной системе координат и требуется найти какой-нибудь угол (например, изображение).

Действительно, угол изображение равен углу между векторами изображение и изображение. Координаты этих векторов вычисляются как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора, об этом мы говорили в статье нахождение координат вектора через координаты точек.

Пример.

На плоскости в декартовой системе координат заданы координаты трех точек изображение. Найдите косинус угла между векторами изображение и изображение.

Решение.

Определим координаты векторов изображение и изображение по координатам заданных точек:
изображение

Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах:
изображение

Ответ:

изображение.

Угол между векторами изображение и изображение также можно вычислить по теореме косинусов. Если отложить от точки O векторы изображение и изображение, то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать изображение, что эквивалентно равенству изображение, откуда находим косинус угла между векторами изображение. Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов изображение и изображение, которые легко находятся по координатам векторов изображение и изображение. Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле изображение.

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+