Математика на cleverstudents.ru

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Каждой тригонометрической функции для данного угла (или числа) α соответствует определенное значение этой функции. Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса ясно, что значением синуса угла α является ордината точки, в которую переходит начальная точка единичной окружности после ее поворота на угол α, значением косинуса – абсцисса этой точки, значением тангенса – отношение ординаты к абсциссе, а значением котангенса – отношение абсциссы к ординате.

Достаточно часто при решении задач возникает необходимость в нахождении значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов указанных углов. Для некоторых углов, например в 0, 30, 45, 60, 90, … градусов, есть возможность найти точные значения тригонометрических функций, для других углов нахождение точных значений оказывается проблематичным и приходится довольствоваться приближенными значениями.

В этой статье мы разберемся, какими принципами следует руководствоваться при вычислении значения синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Перечислим их по порядку.

• Приближенное значение указанной тригонометрической функции можно найти по определению. А для углов 0, ±90, ±180 и т.д. градусов определение тригонометрических функций позволяет указать точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
• Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике позволяют найти значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «основных» углов 30, 45, 60 градусов.
• Если угол выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то сначала следует воспользоваться формулами приведения, что позволит перейти к вычислению значения тригонометрических функций с аргументом от 0 до 90 градусов.
• Если известно значение одной из тригонометрических функций для данного угла α, то мы всегда можем вычислить значение любой другой тригонометрической функции этого же угла. Это нам позволяют сделать основные тригонометрические тождества.
• Иногда возможно вычислить значение данной тригонометрической функции для данного угла, отталкиваясь от значений функций для основных углов и используя подходящие формулы тригонометрии. Например, по известному значению синуса 30 градусов и формуле половинного угла для синуса можно найти значение синуса 15 градусов.
• Наконец, всегда можно найти приближенное значение данной тригонометрической функции для данного угла, обратившись к нужной из таблиц синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

Теперь рассмотрим каждый из перечисленных принципов вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов подробно.

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса по определению

Отталкиваясь от определения синуса и косинуса, можно найти значения синуса и косинуса данного угла α. Для этого нужно взять единичную окружность, повернуть начальную точку А(1, 0) на угол α, после чего она перейдет в точку А₁. Тогда координаты точки А₁ дадут соответственно косинус и синус данного угла α. После этого можно вычислить тангенс и котангенс угла α, вычислив отношения ординаты к абсциссе и абсциссы к ординате соответственно.

По определению мы можем вычислить точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов (0, ±π/2, ±π, ±3π/2, ±2π, … радианов). Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π/2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π/2+2π·z рад), где z – любое целое число. Изобразим на рисунках, где будет располагаться точка А₁, получающаяся при повороте начальной точки А на эти углы (при необходимости изучите материал статьи угол поворота).

Для каждой из этих групп углов найдем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, используя определения.

• Очевидно, что при повороте начальной точки А на любой из углов 360·z градусов, она будет переходить в себя, то есть, точка А₁ будет иметь координаты (1, 0). Таким образом, синус 0, ±360, ±720, … градусов равен нулю, а косинус равен единице. То есть, и , откуда находим, что , а котангенс этих углов не определен.
• Если начальную точку А(1, 0) повернуть на любой из углов 90+360·z градусов, то она перейдет в точку А₁ с координатами (0, 1). Таким образом, по определению и , откуда заключаем, что тангенс этих углов не определен, а .
• После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z градусов, она перейдет в точку A₁ с координатами (−1, 0). Откуда находим значения синуса, косинуса и тангенса: , а котангенс этих углов не определен.
• Наконец, при повороте начальной точки на любой из углов 270+360·z градусов мы попадем в точку A₁(0, −1). Таким образом, по определению , а тангенс этих углов не определен.

Что касается остальных углов, отличных от 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов, то по определению мы можем найти лишь приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Для примера найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла −52 градуса.

Выполним построения.

По чертежу находим, что абсцисса точки А₁ приближенно равна 0,62, а ордината приближенно равна −0,78. Таким образом, и . Остается вычислить значения тангенса и котангенса, имеем и .

Понятно, что чем точнее будут выполнены построения, тем точнее будут найдены приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла. Также понятно, что нахождение значений тригонометрических функций по определению не удобно на практике, так как неудобно выполнять описанные построения.

Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Вкратце стоит остановиться на так называемых линиях синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Линиями синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов называют линии, изображаемые совместно с единичной окружностью, имеющие начало отсчета и единицу измерения, равную единице во введенной прямоугольной системе координат, на них наглядно представляются все возможные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Изобразим их на чертеже ниже.

Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30, 45 и 60 градусов

Для углов 30, 45 и 60 градусов известны точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они могут быть получены по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике с использованием теоремы Пифагора.

Чтобы получить значения тригонометрических функций для углов 30 и 60 градусов рассмотрим прямоугольный треугольник с этими углами, причем его возьмем таким, чтобы длина гипотенузы равнялась единице. Известно, что катет, лежащий напротив угла 30 градусов вдвое меньше гипотенузы, следовательно, его длина равна 1/2. Длину другого катета находим по теореме Пифагора: .

Так как синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то и . В свою очередь косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тогда и . Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему, следовательно, и , а также и .

Осталось получить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла 45 градусов. Обратимся к прямоугольному треугольнику с углами 45 градусов (он будет равнобедренным) и гипотенузой, равной единице. Тогда по теореме Пифагора несложно проверить, что длины катетов равны . Теперь мы можем вычислить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса как отношение длин соответствующих сторон рассматриваемого прямоугольного треугольника. Имеем и .

Полученные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 градусов будут очень часто использоваться при решении различных геометрических и тригонометрических задач, так что рекомендуем их запомнить. Для удобства занесем их в таблицу основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого пункта приведем иллюстрацию значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 с использованием единичной окружности и линий синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Сведение к углу из интервала от 0 до 90 градусов

Сразу заметим, что удобно находить значения тригонометрических функций, когда угол находится в интервале от 0 до 90 градусов (от нуля до пи пополам рад). Если же аргумент тригонометрической функции, значение которой нам нужно найти, выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то мы всегда при помощи формул приведения можем перейти к нахождению значения тригонометрической функции, аргумент которой будет в указанных пределах.

Для примера найдем значение синуса 210 градусов. Представив 210 как 180+30 или как 270−60, соответствующие формулы приведения сводят нашу задачу от нахождения синуса 210 градусов к нахождению значения синуса 30 градусов , или косинуса 60 градусов .

Давайте на будущее условимся при нахождении значений тригонометрических функций всегда с помощью формул приведения переходить к углам из интервала от 0 до 90 градусов, если конечно угол уже не находится в этих пределах.

Достаточно знать значение одной из тригонометрических функций

Основные тригонометрические тождества устанавливают связи между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Таким образом, с их помощью мы можем по известному значению одной из тригонометрических функций найти значение любой другой функции этого же угла.

• Найти значение синуса по известному косинусу, или значение косинуса по известному синусу позволяет формула .
• Значение тангенса по известному косинусу или значение косинуса по известному тангенсу удобно вычислять по формуле .
• Аналогично значение котангенса по известному синусу или значение синуса по известному котангенсу позволяет вычислить формула вида .
• Тангенс через котангенс или котангенс через тангенс удобно находить, используя соотношение .

Рассмотрим решение примера.

Нахождение значений с помощью тригонометрических формул

В двух предыдущих пунктах мы уже начали освещение вопроса по нахождению значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием формул тригонометрии. Здесь мы лишь хотим сказать, что иногда возможно вычислить требуемое значение тригонометрической функции, используя тригонометрические формулы и известные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса (например, для углов 30, 45 и 60 градусов).

Для примера, используя тригонометрические формулы, вычислим значение тангенса угла пи на восемь, которое мы использовали в предыдущем пункте для нахождения значения синуса.

Что делать в остальных случаях?

Во многих случаях довольно непросто подобрать подходящие формулы, которые позволят вычислить значение некоторой тригонометрической функции для данного угла. Например, как вычислить точное значение косинуса 11 градусов? Вопрос очень непростой.

Однако точные значения тригонометрических функций на практике частенько не так уж и нужны. Обычно достаточно приближенных значений с некоторой требуемой степенью точности. Существуют таблицы значений тригонометрических функций, откуда мы всегда можем найти нужное нам приближенное значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса данного угла. Примерами таких таблиц являются таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса. Эти таблицы содержат значения тригонометрических функций с точностью до четырех знаков после запятой.