Математика на cleverstudents.ru

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Формулы приведения, мнемоническое правило, доказательство, примеры.

Продолжаем изучение тригонометрических формул. В этой статье мы подробно разберем формулы приведения. Сначала мы дадим полный список формул приведения, и рассмотрим примеры их применения. Дальше остановимся на мнемоническом правиле, позволяющем легко получать формулы приведения без их запоминания. В заключение статьи покажем доказательство формул приведения.

Список формул приведения

Формулы приведения получили свое название не от слова «привиделось», а от слова «приводить». С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от нуля до пи пополам радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно. В этом одна из их основных заслуг.

Прежде чем перечислить все формулы приведения отметим, что в этих формулах аргументами тригонометрических функций являются углы вида и , где z – любое целое число, а альфа – произвольный угол поворота.

И еще один момент: формул приведения достаточно много по количеству, и сразу предостережем Вас от заучивания их всех наизусть. В этом абсолютно нет необходимости – существует мнемоническое правило, позволяющее легко применять формулы приведения.

Итак, запишем все формулы приведения в виде таблицы.

Эти формулы можно переписать с использованием градусов и радиан. Для этого достаточно вспомнить про связь между градусами и радианами, и везде заменить π на 180 градусов.

Примеры использования формул приведения

Цель этого пункта заключается в том, чтобы показать, как формулы приведения используются на практике при решении примеров.

Для начала стоит сказать, что существует бесконечное число способов представления угла под знаком тригонометрических функций в виде и . Это связано с тем, что угол может принимать любое значение. Покажем это на примере.

Для примера возьмем угол под знаком тригонометрической функции равным . Этот угол можно представить как , или как , или как , или еще множеством других способов.

А теперь давайте посмотрим, какие формулы приведения нам придется использовать в зависимости от представления угла. Для примера возьмем .

Если мы представим угол как , то этому представлению отвечает формула приведения вида , откуда получаем . Мы здесь можем указать значение тригонометрической функции: .

Для представления мы уже будем использовать формулу вида , которая нас приводит к следующему результату: .

Наконец, , так как соответствующая формула приведения имеет вид .

В заключение этих рассуждений стоит особо отметить, что существуют определенные удобства при использовании представлений угла, в которых угол имеет величину от 0 до 90 градусов (от 0 до пи пополам радиан).

Рассмотрим еще пример применения формул приведения.

Мнемоническое правило

Как мы уже упоминали выше, формулы приведения заучивать наизусть необязательно. Если внимательно на них посмотреть, то можно выявить закономерности, из которых можно получить правило, позволяющее получить любую из формул приведения. Его называют мнемоническим правилом (мнемоника – искусство запоминания).

Мнемоническое правило содержит три этапа:

1. Сначала аргумент исходной функции представляется в виде или , причем угол должен быть от 0 до 90 градусов (от 0 до пи пополам радиан). Это замечание про угол альфа очень важно, так как для других мнемоническое правило может приводить к неверным результатам, что мы покажем на примере ниже.
2. Дальше определяется знак, который имеет исходная функция. Функция в правой части записываемой формулы приведения будет иметь такой же знак.
3. Наконец, для углов и название исходной функции сохраняется, а для углов и название исходной функции меняется на «кофункцию» (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Сразу стоит сказать, что для применения мнемонического правила нужно очень хорошо уметь определять знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям, так как делать это придется постоянно.

Разберем применение мнемонического правила на примерах.

Для закрепления материала рассмотрим решение примера с конкретными углами.

В заключение этого пункта рассмотрим пример, иллюстрирующий важность правильного представления угла под знаком тригонометрических функций для применения мнемонического правила: угол должен быть острым!!!

Вычислим тангенс угла . В принципе, обратившись к материалу статьи значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, мы можем сразу дать ответ на вопрос задачи: .

Если мы представим угол как или как , то можно воспользоваться мнемоническим правилом: и , что приводит нас к тому же результату.

А вот что может получиться, если взять представление угла , например, вида . При этом мнемоническое правило приведет нас к такому результату . Этот результат неверен, а объясняется это тем, что для представления мы не имели права применять мнемоническое правило, так как угол не является острым.

Доказательство формул приведения

Формулы приведения отражают периодичность, симметричность и свойства сдвига на углы и . Сразу заметим, что все формулы приведения можно доказывать, отбросив в аргументах слагаемое , так как оно означает изменение угла на целое число полных оборотов, а это не изменяет значения тригонометрических функций. Это слагаемое и служит отражением периодичности.

Первый блок из 16 формул приведения напрямую следует из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса. На них даже не стоит останавливаться.

Переходим к следующему блоку формул. Сначала докажем первые две из них. Остальные следуют из них. Итак, докажем формулы приведения вида и .

Рассмотрим единичную окружность. Пусть начальная точка A после поворота на угол переходит в точку A₁(x, y), а после поворота на угол - в точку A₂. Проведем A₁H₁ и A₂H₂ – перпендикуляры к прямой Ox.

Несложно видеть, что прямоугольные треугольники OA₁H₁ и OA₂H₂ равны по гипотенузе и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников и расположения точек A₁ и A₂ на единичной окружности становится видно, что если точка A₁ имеет координаты x и y, то точку A₂ имеет координаты −y и x. Тогда определения синуса и косинуса позволяют нам записать равенства и , откуда следует, что и . Этим доказаны рассматриваемые формулы приведения для любого угла .

Учитывая, что и (при необходимости смотрите статью основные тригонометрические тождества), а также только что доказанные формулы, получаем и . Так мы доказали две следующие формулы приведения.

Для доказательства формул приведения с аргументом достаточно его представить как , после чего использовать доказанные формулы и свойства тригонометрических функций с противоположными аргументами. Например, .

Аналогично доказываются и все остальные формулы приведения на базе уже доказанных путем двукратного применения. Например, представляется как , а - как . А и - как и соответственно.