Математика на cleverstudents.ru

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла позволяют установить ряд характерных результатов – свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса. В этой статье мы рассмотрим три основных свойства. Первое из них указывает знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в зависимости от того, углом какой координатной четверти является α. Дальше мы рассмотрим свойство периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов. Третье свойство выражает зависимость между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α.

Если же Вас интересуют свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то их можно изучить в соответствующем разделе статьи основные элементарные функции: их свойства и графики.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям

Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I, II, III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.

Возьмем единичную окружность, отметим на ней начальную точку А(1, 0), и повернем ее вокруг точки O на угол α, при этом будем считать, что мы попадем в точку A₁(x, y).

Говорят, что угол α является углом I, II, III, IV координатной четверти, если точка А₁ лежит в I, II, III, IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A₁ лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy, то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.

Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30, −210, 585 и −45 градусов, которые являются углами I, II, III и IV координатных четвертей соответственно.

Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α.

Для синуса и косинуса это сделать просто.

По определению синус угла α - это ордината точки А₁. Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.

В свою очередь косинус угла α - это абсцисса точки A₁. В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.

Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения: тангенс – это отношение ординаты точки A₁ к абсциссе, а котангенс – отношение абсциссы точки A₁ к ординате. Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A₁ одинаковые, и имеют знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A₁ различны. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, и знак минус – во II и IV четвертях.

Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x, и ордината y точки A₁ положительны, тогда и частное x/y, и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки +. А во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y, и y/x – отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.

Переходим к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойство периодичности

Сейчас мы разберем, пожалуй, самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Оно состоит в следующем: при изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.

Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы из начальной точки А всегда будем попадать в точку А₁ на единичной окружности, следовательно, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются неизменными, так как неизменны координаты точки A₁.

С помощью формул рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать так: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tg(α+2·π·z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, где α - угол поворота в радианах, z – любое целое число, абсолютная величина которого указывает количество полных оборотов, на которые изменяется угол α, а знак числа z указывает направление поворота.

Если же угол поворота α задан в градусах, то указанные формулы перепишутся в виде sin(α+360°·z)=sinα, cos(α+360°·z)=cosα, tg(α+360°·z)=tgα, ctg(α+360°·z)=ctgα.

Приведем примеры использования этого свойства. Например, , так как , а . Вот еще пример: или .

Это свойство вместе с формулами приведения очень часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса «больших» углов.

Рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса иногда называют свойством периодичности.

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Пусть А₁ – точка, полученная в результате поворота начальной точки А(1, 0) вокруг точки O на угол α, а точка А₂ – это результат поворота точки А на угол −α, противоположный углу α.

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов базируется на достаточно очевидном факте: упомянутые выше точки А₁ и А₂ либо совпадают (при ), либо располагаются симметрично относительно оси Ox. То есть, если точка A₁ имеет координаты (x, y), то точка А₂ будет иметь координаты (x, −y). Отсюда по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса записываем равенства и .
Сопоставляя их, приходим к соотношениям между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов α и −α вида .
Это и есть рассматриваемое свойство в виде формул.

Приведем примеры использования этого свойства. Например, справедливы равенства и .

Остается лишь заметить, что свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.