Математика на cleverstudents.ru

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа обладают рядом присущих им результатов – свойств. В этой статье мы рассмотрим основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Здесь мы запишем их в виде формул, дадим формулировки и приведем доказательство свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Начнем с самого очевидного, и в то же время самого наиболее часто используемого свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Это свойство синуса арксинуса, косинуса арккосинуса, тангенса арктангенса и котангенса арккотангенса. Сразу запишем соответствующие формулы.

Данное свойство напрямую следует из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Для примера покажем, как с помощью определения арксинуса доказать, что при −1≤a≤1 синус арксинуса числа a равен самому числу a. По определению arcsin a – это такой угол (число), синус которого равен числу a, то есть, sin(arcsin a)=a.

Аналогично на базе определений арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа доказываются остальные свойства: cos(arccos a)=a, tg(arctg a)=a и ctg(arcctg a)=a.

Приведем примеры использования рассматриваемого свойства. Например, можно записать, что sin(arcsin0,2)=0,2, , tg(arctg3)=3 и .

В заключение обратим Ваше внимание на условие −1≤a≤1, которое фигурирует в свойствах синуса арксинуса и косинуса арккосинуса. Здесь стоит отметить, что при значениях a, выходящих за пределы отрезка от −1 до 1, арксинус и арккосинус не определены, а значит записи sin(arcsin a) и cos(arccos a) не имеют смысла. Например, на базе свойства синуса арксинуса нельзя записать равенство sin(arcsin5)=5, так как выражение sin(arcsin5) не имеет смысла. Аналогично, не имеет смысла и запись , так как арккосинус минус корня из пяти не определен. Поэтому, будет ошибкой записать равенство вида .

arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

Следующее свойство задает связи между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел a и −a. Перечислим соответствующие формулы.

Для начала отметим, что при условии −1≤a≤1 определены как arcsin(−a), так и arcos(−a), так как число −a принадлежит тому же отрезку от −1 до 1 (это следует из свойств неравенств). Аналогично, при выполнении условия −∞<a<+∞, число −a принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности, поэтому определен и arctg(−a), и arcctg(−a).

Приведем доказательство записанных равенств.

Начнем с доказательства свойства арксинусов противоположных чисел: при −1≤a≤1 справедливо равенство arcsin(−a)=−arcsin a. По определению арксинуса, arcsin(−a) – это угол (число) в рамках от −π/2 до π/2, причем его синус равен −a. Таким образом, чтобы доказать справедливость равенства arcsin(−a)=−arcsin a, нам нужно доказать два момента: что −π/2≤−arcsin a≤π/2 и что sin(−arcsin a)=−a. Сделаем это.

По определению арксинуса справедливо двойное неравенство −π/2≤arcsin a≤π/2. Свойства неравенств позволяют выполнять умножение его частей на отрицательное число, заменяя при этом знаки неравенств на противоположные, тогда, выполнив умножение на −1, мы получим , что эквивалентно −π/2≤−arcsin a≤π/2.

Осталось показать, что sin(−arcsin a)=−a. Свойство синусов противоположных углов дает нам право записать равенство sin(−arcsin a)=−sin(arcsin a), а свойство синуса арксинуса, разобранное в предыдущем пункте, позволяет закончить доказательство: sin(−arcsin a)=−sin(arcsin a)=−a.

Так свойство арксинусов противоположных чисел доказано.

Переходим к доказательству свойства арккосинусов противоположных чисел: при −1≤a≤1 справедливо равенство arccos(−a)=π−arccos a.

Для этого, на основании определения арккосинуса числа, нам нужно доказать: во-первых, что π−arccos a представляет собой угол (число) в рамках от 0 до π, и, во-вторых, что cos(π−arccos a)=−a. Сделаем это.

По определению арккосинуса числа должно выполняться неравенство 0≤arccos a≤π. На основании свойств неравенств умножим его части на −1, не забыв поменять знаки: . Теперь все те же свойства неравенств позволяют нам прибавить ко всем частям число пи, сохраняя знаки: −π+π≤−arccosa+π≤0+π, что приводит нас к двойному неравенству вида 0≤π−arccos a≤π.

Осталось доказать, что cos(π−arccos a)=−a. Формулы приведения позволяют записать равенство cos(π−arccos a)=−cos(arcos a), а свойство косинуса от арккосинуса из предыдущего пункта позволяет закончить доказательство cos(π−arccos a)=−cos(arcos a)=−a.

На этом завершено доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Свойства для арктангенсов и арккотангенсов противоположных знаков доказываются с использованием аналогичных принципов.

Основная заслуга рассмотренного свойства заключается в том, что оно позволяет избавиться от работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами отрицательных чисел.

В заключение этого пункта приведем несколько примеров использования свойств арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов противоположных знаков. К примеру, на их основе справедливы равенства arcsin(−1/2)=−arcsin(1/2), , arctg(−1)=−arctg1 и .

Сумма арксинуса и арккосинуса, сумма арктангенса и арккотангенса

Следующее свойство устанавливает связи между арксинусом и арккосинусом числа a, а также между арктангенсом и арккотангенсом числа a. Запишем формулы, отвечающие этим свойствам.

Докажем первое из равенств, то есть, докажем, что сумма арксинуса и арккосинуса числа a равна пи пополам. Для этого можно показать, что arcsin a=π/2−arccos a. Учитывая определение арксинуса, это равенство будет верно, если π/2−arccos a есть угол (число), лежащий в пределах от −π/2 до π/2, и синус этого угла равен a. Покажем, что это действительно так.

По определению арккосинуса числа должно быть справедливым неравенство 0≤arccos a≤π. Учитывая свойства неравенств, умножим все части неравенства на −1, при этом изменив знаки, после чего прибавим ко всем частям число π/2, сохранив знаки, это нас и приведет к неравенству −π/2≤π/2−arccosa≤π/2.

Осталось показать, что sin(π/2−arccos a)=a. Для этого сначала воспользуемся формулой приведения, после чего используем свойство косинуса от арккосинуса: sin(π/2−arccos a)=cos(arccos a)=a.

Так доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса числа a равна π/2.

Аналогично доказывается, что сумма арктангенса и арккотангенса числа a равна пи пополам, то есть, что arctg a+arcctg a=π/2.

Основное предназначение разобранных свойств заключается в том, что они позволяют выражать арксинус через арккосинус или арккосинус через арксинус того же числа, а также арктангенс через арккотангенс и наоборот. Например, пусть нам известно, что , а нужно найти арккосинус числа . Мы это можем легко сделать, обратившись к свойству, выражающемуся равенством arcsin a+arcos a=π/2, имеем .

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Обзор основных свойств закончим свойствами арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса. Им отвечают следующие равенства.

Записанные равенства при указанных условиях напрямую следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Для полной ясности докажем, что arcsin(sin α)=α при условии, что −π/2≤α≤π/2, остальные свойства доказываются аналогично.

Обозначим sin α через a, при этом число a будет принадлежать отрезку [−1, 1]. Тогда равенство arcsin(sin α)=α примет вид arcsin a=α, а так как по условию −π/2≤α≤π/2 и мы приняли sin α=a, то равенство arcsin a=α эквивалентно определению арксинуса. Таким образом, arcsin(sin α)=α при условии, что −π/2≤α≤π/2.

Покажем несколько примеров применения разобранных свойств. Например, арксинус синуса −15 градусов равен −15 градусам, arccos(cos(2π/3))=2π/3, arctg(tg(0,2))=0,2 и .

Следует отметить, что выражение arcsin(sin α) имеет смысл не только при −π/2≤α≤π/2, однако равенство arcsin(sin α)=α справедливо лишь при соблюдении этого условия. Например, нельзя записать, что arcsin(sin(7π/4))=7π/4, так как 7π/4 выходит за пределы от минус пи пополам до пи пополам.

Аналогично запись arccos(cos α) имеет смысл не только для 0≤α≤π, однако равенство arccos(cos α)=α справедливо лишь при этом условии. К примеру, равенство вида arccos(cos (−3π))=−3π не является верным, так как −3π выходит за пределы от нуля до пи.

Аналогичные утверждения имеют место и для arctg(tg α) и для arcctg(ctg α).

В заключение этой статьи стоит сказать о том, что определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, их перечисленные выше основные свойства, а также тригонометрические формулы позволяют получить еще ряд полезных формул, задающих связи между arcsin, arccos, arctg, arcctg, sin, cos, tg и ctg в их всевозможных комбинациях. Им посвящена статья формулы с arcsin, arccos, arctg и arcctg.