Тригонометрия, тригонометрические формулы Помощь в написании работ

Произведение синусов и косинусов, вывод формул, примеры.


Изучение основных формул тригонометрии продолжаем формулами произведения синусов, косинусов и синуса на косинус. Эти формулы являются в определенном смысле обратными формулам суммы синусов и косинусов, то есть, позволяют от произведения синусов и косинусов углов и перейти к сумме или разности синусов и косинусов углов и .

В этой статье мы рассмотрим следующие формулы: произведение синусов, произведение косинусов и произведение синуса на косинус, покажем их вывод, а также приведем примеры их использования.


Список формул

Запишем по порядку формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Эти формулы справедливы для любых углов и .

Озвучим формулировки данных формул произведения:

Вывод формул


Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус можно вывести, основываясь на формулах сложения, а также на следующем свойстве равенств: если к левой и правой части верного равенства прибавить соответственно левую и правую части другого верного равенства, то получится верное равенство.

Для вывода формул произведения синусов и косинусов нам потребуются формулы косинуса суммы и косинуса разности вида и .

Сложив эти равенства, получаем , откуда следует, что и . Так доказана формула произведения косинусов.

Если же формулу косинуса суммы переписать как , после чего к этому равенству прибавить равенство , то легко получается формула произведения синусов вида .

Для вывода формулы произведения синуса на косинус достаточно сложить левые и правые части формул синуса суммы и синуса разности . Имеем , откуда следует, что .

Так мы вывели формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Примеры использования

Разберем несколько примеров использования формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус. Это сделаем для того, чтобы было понятно, как применяются рассматриваемые формулы для конкретных углов.

Начнем с того, что проверим справедливость, например, формул произведения синусов. Для этого возьмем , и убедимся, что для этих углов совпадают значения правой и левой частей равенства . Имеем (при необходимости обращайтесь к разделу таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса), и

Так как мы получили одинаковые значения, то формула произведения синусов справедлива для данных углов.

В некоторых случаях формулы произведения позволяют вычислять значения тригонометрических выражений. Рассмотрим пример, подтверждающий наши слова.

Пример.

Вычислите точное значение произведения синуса 75 градусов и косинуса 15 градусов.

Решение.

Точные значения и нам неизвестны, поэтому мы не можем непосредственно вычислить требуемое значение. Однако ответить на вопрос задачи нам позволяет формула произведения синуса и косинуса. Действительно, сумма углов 75 и 15 градусов равна 90 градусов, а их разность равна 60 градусов, для данных углов мы знаем точные значения всех тригонометрических функций.

Итак,

Ответ:

.

Формулы произведения синусов, косинусов, синуса и косинуса используются для преобразования тригонометрических выражений, но эта тема требует более детального обсуждения.

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+