Формулы понижения степени в тригонометрии.
Одним из видов тригонометрических формул являются формулы понижения степени. Формулы понижения степени выражают степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. Таким образом, эти формулы понижают степень исходных тригонометрических функций с n-ой до первой, но при этом повышают кратность угла от 
до 
. В этой статье мы выведем формулы понижения степени для степеней со второй по четвертую, дадим общий вид формул понижения для n-ой степени, а также рассмотрим примеры их применения.
Формулы понижения степени, их доказательство
Запишем формулы понижения степени со второй по четвертую для синуса и косинуса, ниже приведем их вывод. А после этого дадим общий вид формул понижения степени.
Теперь перейдем к выводу этих формул понижения степени.
Формулы понижения для квадрата синуса и косинуса напрямую следуют из формул двойного угла вида 
и 
. Записанные равенства достаточно лишь разрешить относительно синуса в квадрате и косинуса в квадрате, что даст формулы 
и 
соответственно.
Здесь стоит отметить, что формулы понижения степени для синуса и косинуса в квадрате совпадают с формулами синуса и косинуса половинного угла.
Двигаемся дальше.
Если формулы тройного угла вида 
и 
разрешить относительно синуса в кубе и косинуса в кубе, то получатся формулы понижения степени 
и 
соответственно.
Доказать формулы понижения с четвертой степени вида 
и 
можно, дважды обратившись к формулам понижения синуса и косинуса в квадрате:
Пришло время записать общий вид формул понижения степени. Для четных показателей степени (то есть, для n=2, 4, 6, …) они имеют вид 
и 
,
а для нечетных (то есть, для n=3, 5, 7, …) - вид 
и 
, где 
- число сочетаний из p элементов по q.
Покажем, как использовать формулы понижения степени общего вида на конкретном примере. Запишем с их помощью формулу понижения степени для синуса в кубе. Так как показатель степени 3 является нечетным числом, то нужно воспользоваться формулой , приняв n=3. Для n=3 имеем
Примеры применения формул понижения степени
Разберем решения нескольких простых примеров, в которых используются формулы понижения степени. Это мы сделаем для того, чтобы стало понятно, как применяются эти формулы.
Пример.
Проверьте справедливость формулы понижения степени вида , взяв 
.
Решение.
Чтобы проверить справедливость указанной формулы понижения степени для данного значения угла , нужно вычислить значения левой и правой частей и убедиться, что они равны.
Так как , то 
и 
. Известно, что 
и 
(при необходимости смотрите статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, тогда 
и .
Таким образом, значения левой и правой частей формулы понижения степени вида совпадают при , что подтверждает справедливость этой формулы для данного угла.
Формулы понижения степени можно применять и для углов, вид которых отличен от . Следующий пример служит иллюстрацией этой мысли.
Пример.
Воспользуйтесь формулой понижения степени для 
.
Решение.
Соответствующая формула понижения степени для угла имеет вид .
Используем формулу понижения для угла 
, для чего выполним замену на . При этом получим 
, что эквивалентно равенству 
.
Ответ:
.
В заключение отметим, что формулы понижения степени наиболее часто приходится использовать для преобразования тригонометрических выражений, но об этом будет отдельный разговор.
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.