Математика на cleverstudents.ru

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Формулы половинного угла в тригонометрии.

Формулы половинного угла (их еще называют формулами половинного аргумента) выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тригонометрические функции самого угла , и тем самым представляют собой некоторую противоположность формулам двойного угла. В этой статье мы перечислим все формулы половинного угла, приведем их доказательство и рассмотрим несколько примеров применения этих формул.

Список формул половинного угла

Для начала перечислим все формулы половинного угла:

Формулы для синуса и косинуса половинного угла справедливы для любого угла . Формула для тангенса имеет место для любых углов , при которых определен , то есть, при , где z – любое целое число (при этих же значение выражения отлично от нуля, в противном случае мы бы столкнулись с делением на нуль). Формула котангенса половинного угла справедлива для всех углов , при которых определен котангенс половинного угла, то есть, для .

Сразу бросается в глаза, что формулы половинного угла даны для квадратов тригонометрических функций. Значения самих функций находятся как арифметический квадратный корень из правых частей записанных равенств, взятый со знаком плюс или минус, то есть, как и . Причем знак зависит от того, углом какой из координатных четвертей является угол .

Применение этих формул рассмотрим на примерах чуть ниже.

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла базируется на формулах косинуса двойного угла вида и . Разрешив первое из записанных равенств относительно , получаем формулу половинного угла для синуса . А разрешив второе равенство относительно , получаем формулу половинного угла для косинуса .

Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса нам потребуются основные тригонометрические тождества вида и , а также две доказанные выше формулы половинного угла для синуса и косинуса. Имеем

Так мы доказали все формулы половинного угла.

Примеры использования

Целью этого пункта заключается в том, чтобы показать как применяются формулы половинного угла при решении конкретных примеров. Начнем с простого примера.

Обязательно стоит обратить Ваше внимание, что для применения формул половинного угла аргументы не обязательно должны иметь явный вид и , главное – чтобы аргумент в правой части формул половинного угла был вдвое больше аргумента в левой части формул. К примеру, формула половинного угла для синуса позволяет записать равенство или .

В заключение этого пункта скажем, что в основном формулы половинного аргумента применяются при преобразовании тригонометрических выражений, но эта тема заслуживает отдельного рассмотрения.