Математика на cleverstudents.ru

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Формулы двойного угла в тригонометрии.

Формулы двойного угла выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тригонометрические функции угла . В этой статье мы сначала перечислим все формулы двойного угла, после чего приведем их доказательство. Дальше рассмотрим несколько примеров применения. В заключение остановимся на формулах тройного, четверного и так далее углов.

Список формул двойного угла

Прежде чем дать все формулы двойного угла напомним, что в тригонометрии при записи синуса, косинуса, тангенса и котангенса кратных углов вида , где n – некоторое натуральное число, аргумент принято записывать без скобок. При этом, например, запись понимают как . Также стоит напомнить, что запись понимается как , аналогичные записи используются и для косинуса, и для тангенса, и для котангенса в степени n.

Теперь запишем все формулы двойного угла в виде списка.

Заметим, что формулы синуса и косинуса двойного угла справедливы для любого угла . Формула тангенса двойного угла имеет место для любых , при которых определен (то есть, при , где z – любое целое число). В свою очередь формула котангенса двойного угла справедлива для любых , при которых имеет место (то есть, при ).

Привлекает внимание тот факт, что для косинуса двойного угла записаны три формулы. Все они равносильны, и употребляются примерно одинаково часто в зависимости от требований конкретной задачи.

Доказательство формул двойного угла

Формулы двойного угла доказываются достаточно просто – они следуют из формул сложения. Действительно, возьмем формулы синуса суммы и косинуса суммы , и положим в них . При этом получим и , так доказаны формулы синуса и косинуса двойного угла вида и .

Две другие формулы косинуса двойного угла вида и сводятся к формуле , если в них единицу заменить на сумму квадратов синуса и косинуса на основе основного тригонометрического тождества . Так и .

Осталось доказать формулы тангенса и котангенса двойного угла. Для этого используем равенства и , а также формулы синуса и косинуса двойного угла. Имеем и . Осталось числитель и знаменатель первой дроби разделить на (здесь нужно заметить, что при тех значениях , при которых определен , поэтому мы избежим деления на нуль), а второй – на ( при тех значениях , при которых определен ). Осталось лишь завершить доказательство формул двойного угла для тангенса и котангенса:

и
.

Примеры использования формул двойного угла

В этом пункте мы рассмотрим несколько примеров применения формул двойного угла. При этом мы не ставим целью перечислить все сферы, где применяются формулы двойного угла, мы лишь хотим показать их использование на конкретных примерах.

Для начала проверим справедливость формул двойного угла для , так как мы знаем точные значения тригонометрических функций для углов и . Итак, проверим, что и .

Мы знаем, что и , тогда , и . Приведенные вычисления подтверждают справедливость формул двойного угла для .

Понятно, что формулы двойного угла в основном используются для преобразования тригонометрических выражений.

В заключение остановимся на примерах применения формул двойного угла, когда угол задан в виде, отличном от . К примеру, можно ли применить формулу двойного угла при аргументе равном ? Конечно можно. В этом случае в качестве угла принимаем , тогда . Таким образом, формула двойного угла, например, для косинуса, даст равенство .

И разберем еще один пример на эту тему.

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Аналогично формулам двойного угла, можно получить формулы тройного, четверного и т.д. углов. Выведем формулы тройного угла, используя формулы сложения и формулы двойного угла.

Если в полученной формуле заменить на , то она примет вид .

Аналогично выводится и формула косинуса тройного угла:

Заменив в этой формуле на , приведем ее к виду .

С помощью только что выведенных формул можно получить формулы тангенса и котангенса тройного углов:

Для вывода формул четверного угла можно представить как , после чего последовательно дважды воспользоваться формулами двойного угла. Чтобы вывести формулы пятерного угла можно представить как , после чего применить формулы сложения, а также формулы тройного и двойного угла. Аналогичным образом можно вывести и другие формулы кратных углов. Однако, они применяются относительно редко и в них нет особой необходимости.