Математика на cleverstudents.ru

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – начальные сведения

Задача, обратная нахождению значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла (числа), подразумевает нахождение угла (числа) по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение упомянем про аркфункции и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.

Определения, обозначения, примеры

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс можно определить как угол и как число. Это связано с тем, что мы определили синус, косинус, тангенс и котангенс как угла, так и числа (смотрите синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии). Остановимся на обоих подходах к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как угол

Пусть про угол альфа α известно лишь то, что его синус равен числу 1/2, то есть, sinα=1/2. Последнее равенство определяет угол α неоднозначно, так как ему удовлетворяет бесконечное множество углов α=(−1)^k·30°+180°·k (α=(−1)^k·π/6+π·k), где k∈Z. Однако, если потребовать, чтобы величина угла α в градусах принадлежала отрезку [−90, 90] (в радианах – отрезку [−π/2, π/2]), то равенство sinα=1/2 будет определять угол альфа однозначно. При этом условии равенству удовлетворяет единственный угол в 30 градусов (π/6 радианов).

Вообще, равенство sinα=a (не путайте a и альфа: a и α) при любом числе a∈[−1, 1] и условии −90°≤α≤90° (−π/2≤α≤π/2) определяет единственный угол α. Этот угол называют арксинусом числа a.

Аналогично определяются арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующие обозначения: arcsin, arccos, arctg и arcctg. То есть, арксинус числа a можно записать как arcsin a, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a, arctg a и arcctg a.

Также можно встретить обозначения arctan и arccot, они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, которая принята в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как arctg и arcctg.

В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа можно записать более формально:

Подчеркнем, что арксинус и арккосинус числа определен для чисел, принадлежащих отрезку [−1, 1], для остальных чисел арксинус и арккосинус не определен. Например, не имеет смысла запись arcsin2. Аналогично не определен арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 2, 5, , −π выходят за пределы числового отрезка от −1 до 1. В свою очередь записи arctg a и arcctg a имеют смысл для любого действительного числа a, например, имеют смысл записи arctg0, arctg(−500,2), arcctg(6·π+1) и т.п.

Теперь можно привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Начнем с примеров арксинуса. Определение арксинуса позволяет утверждать, что угол π/3 является арксинусом числа , то есть, (здесь и α=π/3). Действительно, число принадлежит отрезку [−1, 1], угол π/3 лежит в пределах от −π/2 до π/2 и . Приведем еще несколько примеров арксинуса числа: arcsin(−1)=−90°, arcsin(0,5)=π/6, .

А вот π/10 не является арксинусом 1/2, так как sin(π/10)≠1/2. Еще пример: несмотря на то, что синус 270 градусов равен −1, угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270 градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.

Для полноты картины приведем примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радианов является арккосинусом единицы, то есть, arccos1=0 (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 принадлежит отрезку от −1 до 1, угол нуль радианов лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1). Аналогично, угол π/2 есть арккосинус нуля: arccos0=π/2. По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 или arctg(−1)=−45°. Арктангенс корня из трех равен 60 градусам (π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, что arcctg0=π/2, так как угол π/2 лежит в рамках от 0 до пи и ctg(π/2)=0.

Подобный подход к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса описан в учебнике Кочеткова [1, с. 260-278].

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число

Когда мы имеем дело с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять как угол. Если же мы начинаем говорить про синус, косинус, тангенс и котангенс числа, а не угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять уже как число.

Подобные определения приводятся современных учебниках алгебры [2, 3, 4].

В качестве примера приведем арксинус числа −1/2, это есть число −π/6, то есть, arcsin(−1/2)=−π/6 (здесь a=−1/2 и t=−π/6). Действительно, −1/2∈[−1, 1], −π/6∈[−π/2, π/2] и sin(−π/6)=−1/2.

Прежде чем перейти к следующему пункту, стоит дать комментарий такому вопросу: «Как узнать, когда арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс считать углом, а когда – числом»? Обычно это понятно из контекста. Если мы видим запись arccos a безо всякого контекста, то мы вольны считать арккосинус числа a как углом, так и числом. А вот запись arcsin a+10° позволяет сделать вывод, что под арксинусом числа a понимается угол, причем измеренный в градусах. Из записи π−arctg a можно заключить, что здесь арктангенс числа a – это либо угол, выраженный в радианах, либо просто число.

Геометрическая интерпретация

Чтобы получить наглядное представление об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе и арккотангенсе числа a, взглянем на них с позиций геометрии. Это несложно сделать, если знать про линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

arcsin a, arccos a, arctg a и arcctg a можно связать с дугами единичной окружности, стягивающими углы, соответствующие значениям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a.

Для примера получим дугу, соответствующую арксинусу числа a. Для этого на линии синусов отметим точку, отвечающую числу a, после чего из нее проведем луч, параллельно и в положительном направлении оси абсцисс. Этот луч будет пересекать единичную окружность в некоторой точке. Дуга единичной окружности от этой точки до начальной точки с координатами (1, 0) и будет отвечать арксинусу числа a. Угол, соответствующий этой дуге, иллюстрирует арксинус числа a как угол, а длина дуги отвечает арксинусу числа a как числу.

По схожим принципам можно получить дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a. На рисунке ниже синими линиями показаны дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a.

Обратные тригонометрические функции – аркфункции

Отталкиваясь от первых определений, данных в начале этой статьи, мы можем утверждать, что каждому числу a∈[−1, 1] соответствуют вполне определенные углы arcsin a и arccos a, а каждому действительному числу a – углы arctg a и arcctg a. Это позволяет на арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс смотреть как на функции, ставящие в соответствие каждому числовому значению своего аргумента конкретный угол – значение функции.

Если же на арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a смотреть как на числа (см. четыре последних определения), то можно говорить о числовых функциях арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они каждому значению аргумента a ставят в соответствие уже не угол, а число.

Функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс называют обратными тригонометрическими функциями. Это название объяснимо: функция y=arcsin x является обратной к функции y=sin x, x∈[−π/2, π/2], функция y=arcos x обратная к функции y=cos x, x∈[0, π], функция y=arctg x является обратной к функции y=tg x, x∈(−π/2, π/2), наконец, функция y=arcctg x обратная к функции y=ctg x, x∈(0, π). Их же называют аркфункциями.