Системы, решение систем уравнений и неравенств Помощь в написании работ

Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.


Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводится к решению систем линейных уравнений. Этими факторами объясняется причина создания данной статьи. Материал статьи подобран и структурирован так, что с его помощью Вы сможете

Краткое описание материала статьи.

Сначала дадим все необходимые определения, понятия и введем обозначения.

Далее рассмотрим методы решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных переменных и которые имеют единственное решение. Во-первых, остановимся на методе Крамера, во-вторых, покажем матричный метод решения таких систем уравнений, в-третьих, разберем метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных переменных). Для закрепления теории обязательно решим несколько СЛАУ различными способами.

После этого перейдем к решению систем линейных алгебраических уравнений общего вида, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных или основная матрица системы является вырожденной. Сформулируем теорему Кронекера - Капелли, которая позволяет установить совместность СЛАУ. Разберем решение систем (в случае их совместности) с помощью понятия базисного минора матрицы. Также рассмотрим метод Гаусса и подробно опишем решения примеров.

Обязательно остановимся на структуре общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Дадим понятие фундаментальной системы решений и покажем, как записывается общее решение СЛАУ с помощью векторов фундаментальной системы решений. Для лучшего понимания разберем несколько примеров.

В заключении рассмотрим системы уравнений, сводящиеся к линейным, а также различные задачи, при решении которых возникают СЛАУ.


Определения, понятия, обозначения.

Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными (p может быть равно n) вида
формула

формула - неизвестные переменные, формула - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа), формула - свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид формула,
где формула - основная матрица системы, формула - матрица-столбец неизвестных переменных, формула - матрица-столбец свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,
формула

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных формула, обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение формула при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество формула.

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю формула, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.


Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель ее основной матрицы не равен нулю, то такие СЛАУ будем называть элементарными. Такие системы уравнений имеют единственное решение, причем в случае однородной системы все неизвестные переменные равны нулю.

Такие СЛАУ мы начинали изучать в средней школе. При их решении мы брали какое-нибудь одно уравнение, выражали одну неизвестную переменную через другие и подставляли ее в оставшиеся уравнения, следом брали следующее уравнение, выражали следующую неизвестную переменную и подставляли в другие уравнения и так далее. Или пользовались методом сложения, то есть, складывали два или более уравнений, чтобы исключить некоторые неизвестные переменные. Не будем подробно останавливаться на этих методах, так как они по сути являются модификациями метода Гаусса.

Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Разберем их.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
формула
в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть, формула.

Пусть формула - определитель основной матрицы системы, а формула - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:
формула

При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как формула. Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Пример.

Решите систему линейных уравнений методом Крамера формула.

Решение.

Основная матрица системы имеет вид формула. Вычислим ее определитель (при необходимости смотрите статью определитель матрицы: определение, методы вычисления, примеры, решения):
формула

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Составим и вычислим необходимые определители формула (определитель формула получаем, заменив в матрице А первый столбец на столбец свободных членов формула, определитель формула - заменив второй столбец на столбец свободных членов, формула - заменив третий столбец матрицы А на столбец свободных членов):
формула

Находим неизвестные переменные по формулам формула:
формула

Ответ:

x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Основным недостатком метода Крамера (если это можно назвать недостатком) является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех.

Для более детальной информации смотрите раздел метод Крамера: вывод формул, примеры, решения.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме формула, где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.

Так как формула, то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица формула. Если умножить обе части равенства формула на формула слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных формула. Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Пример.

Решите систему линейных уравнений формула матричным методом.

Решение.

Перепишем систему уравнений в матричной форме:
формула

Так как
формула
то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как формула.

Построим обратную матрицу формула с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы А (при необходимости смотрите статью методы нахождения обратной матрицы):
формула

Осталось вычислить формула - матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу формула на матрицу-столбец свободных членов формула (при необходимости смотрите статью операции над матрицами):
формула

Ответ:

формула или в другой записи x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.

Более подробное описание теории и дополнительные примеры смотрите в статье матричный метод решения систем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений с n неизвестными переменными формула
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная xn. Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находится xn, с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1. Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что формула, так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на формула, к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на формула, и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на формула. Система уравнений после таких преобразований примет вид
формула
где формула, а формула.

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
формула

Будем считать, что формула (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где формула). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на формула, к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на формула, и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на формула. Система уравнений после таких преобразований примет вид
формула
где формула, а формула. Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x3, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы
формула

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
формула

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как формула, с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.

Пример.

Решите систему линейных уравнений формула методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную переменную x1 из второго и третьего уравнения системы. Для этого к обеим частям второго и третьего уравнений прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные на формула и на формула соответственно:
формула

Теперь из третьего уравнения исключим x2, прибавив к его левой и правой частям левую и правую части второго уравнения, умноженные на формула:
формула

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.

Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x3:
формула

Из второго уравнения получаем формула.

Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса формула.

Ответ:

x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Более детальную информацию и дополнительные примеры смотрите в разделе решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

В общем случае число уравнений системы p не совпадает с числом неизвестных переменных n:
формула

Такие СЛАУ могут не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений. Это утверждение относится также к системам уравнений, основная матрица которых квадратная и вырожденная.

Далее нам потребуется понятие минора матрицы и ранга матрицы, которые даны в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения.

Теорема Кронекера – Капелли.

Прежде чем находить решение системы линейных уравнений необходимо установить ее совместность. Ответ на вопрос когда СЛАУ совместна, а когда несовместна, дает теорема Кронекера – Капелли:
для того, чтобы система из p уравнений с n неизвестными (p может быть равно n) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть, Rank(A)=Rank(T).

Рассмотрим на примере применение теоремы Кронекера – Капелли для определения совместности системы линейных уравнений.

Пример.

Выясните, имеет ли система линейных уравнений формула решения.

Решение.

Найдем ранг основной матрицы системы формула. Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор второго порядка формула отличен от нуля. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:
формула

Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг основной матрицы равен двум.

В свою очередь ранг расширенной матрицы формула равен трем, так как минор третьего порядка
формула
отличен от нуля.

Таким образом, Rang(A) < Rang(T), следовательно, по теореме Кронекера – Капелли можно сделать вывод, что исходная система линейных уравнений несовместна.

Ответ:

система решений не имеет.

Итак, мы научились устанавливать несовместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли.

А как же находить решение СЛАУ, если установлена ее совместность?

Для этого нам потребуется понятие базисного минора матрицы и теорема о ранге матрицы.

Минор наивысшего порядка матрицы А, отличный от нуля, называется базисным.

Из определения базисного минора следует, что его порядок равен рангу матрицы. Для ненулевой матрицы А базисных миноров может быть несколько, один базисный минор есть всегда.

Для примера рассмотрим матрицу формула.

Все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как элементы третьей строки этой матрицы представляют собой сумму соответствующих элементов первой и второй строк.

Базисными являются следующие миноры второго порядка, так как они отличны от нуля
формула

Миноры формула базисными не являются, так как равны нулю.

Теорема о ранге матрицы.

Если ранг матрицы порядка p на n равен r, то все элементы строк (и столбцов) матрицы, не образующие выбранный базисный минор, линейно выражаются через соответствующие элементы строк (и столбцов), образующих базисный минор.

Что нам дает теорема о ранге матрицы?

Если по теореме Кронекера – Капелли мы установили совместность системы, то выбираем любой базисный минор основной матрицы системы (его порядок равен r), и исключаем из системы все уравнения, которые не образуют выбранный базисный минор. Полученная таким образом СЛАУ будет эквивалентна исходной, так как отброшенные уравнения все равно излишни (они согласно теореме о ранге матрицы являются линейной комбинацией оставшихся уравнений).

В итоге, после отбрасывания излишних уравнений системы, возможны два случая.

  1. Если число уравнений r в полученной системе будет равно числу неизвестных переменных, то она будет определенной и единственное решение можно будет найти методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

    Пример.

    Решите систему линейных алгебраических уравнений формула.

    Решение.

    Ранг основной матрицы системы формула равен двум, так как минор второго порядка формула отличен от нуля. Ранг расширенной матрицы формула также равен двум, так как единственный минор третьего порядка равен нулю
    формула
    а рассмотренный выше минор второго порядка отличен от нуля. На основании теоремы Кронекера – Капелли можно утверждать совместность исходной системы линейных уравнений, так как Rank(A)=Rank(T)=2.

    В качестве базисного минора возьмем формула. Его образуют коэффициенты первого и второго уравнений:
    формула

    Третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, поэтому исключим его из системы на основании теоремы о ранге матрицы:
    формула

    Так мы получили элементарную систему линейных алгебраических уравнений. Решим ее методом Крамера:
    формула

    Ответ:

    x1 = 1, x2 = 2.

  2. Если число уравнений r в полученной СЛАУ меньше числа неизвестных переменных n, то в левых частях уравнений оставляем слагаемые, образующие базисный минор, остальные слагаемые переносим в правые части уравнений системы с противоположным знаком.

    Неизвестные переменные (их r штук), оставшиеся в левых частях уравнений, называются основными.

    Неизвестные переменные (их n - r штук), которые оказались в правых частях, называются свободными.

    Теперь считаем, что свободные неизвестные переменные могут принимать произвольные значения, при этом r основных неизвестных переменных будут выражаться через свободные неизвестные переменные единственным образом. Их выражение можно найти решая полученную СЛАУ методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

    Разберем на примере.

    Пример.

    Решите систему линейных алгебраических уравнений формула.

    Решение.

    Найдем ранг основной матрицы системы формула методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем a1 1 = 1. Начнем поиск ненулевого минора второго порядка, окаймляющего данный минор:
    формула

    Так мы нашли ненулевой минор второго порядка. Начнем поиск ненулевого окаймляющего минора третьего порядка:
    формула

    Таким образом, ранг основной матрицы равен трем. Ранг расширенной матрицы также равен трем, то есть, система совместна.

    Найденный ненулевой минор третьего порядка возьмем в качестве базисного.

    Для наглядности покажем элементы, образующие базисный минор:
    формула

    Оставляем в левой части уравнений системы слагаемые, участвующие в базисном миноре, остальные переносим с противоположными знаками в правые части:
    формула

    Придадим свободным неизвестным переменным x2 и x5 произвольные значения, то есть, примем формула, где формула - произвольные числа. При этом СЛАУ примет вид
    формула

    Полученную элементарную систему линейных алгебраических уравнений решим методом Крамера:
    формула

    Следовательно, формула.

    В ответе не забываем указать свободные неизвестные переменные.

    Ответ:

    формула, где формула - произвольные числа.

Подведем итог.

Чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений общего вида, сначала выясняем ее совместность, используя теорему Кронекера – Капелли. Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то делаем вывод о несовместности системы.

Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то выбираем базисный минор и отбрасываем уравнения системы, которые не участвуют в образовании выбранного базисного минора.

Если порядок базисного минора равен числу неизвестных переменных, то СЛАУ имеет единственное решение, которое находим любым известным нам методом.

Если порядок базисного минора меньше числа неизвестных переменных, то в левой части уравнений системы оставляем слагаемые с основными неизвестными переменными, остальные слагаемые переносим в правые части и придаем свободным неизвестным переменным произвольные значения. Из полученной системы линейных уравнений находим основные неизвестные переменные методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Методом Гаусса можно решать системы линейных алгебраических уравнений любого вида без предварительного их исследования на совместность. Процесс последовательного исключения неизвестных переменных позволяет сделать вывод как о совместности, так и о несовместности СЛАУ, а в случае существования решения дает возможность отыскать его.

С точки зрения вычислительной работы метод Гаусса является предпочтительным.

Смотрите его подробное описание и разобранные примеры в статье метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.

В этом разделе речь пойдет о совместных однородных и неоднородных системах линейных алгебраических уравнений, имеющих бесконечное множество решений.

Разберемся сначала с однородными системами.

Фундаментальной системой решений однородной системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными называют совокупность (n – r) линейно независимых решений этой системы, где r – порядок базисного минора основной матрицы системы.

Если обозначить линейно независимые решения однородной СЛАУ как X(1), X(2), …, X(n-r) (X(1), X(2), …, X(n-r) – это матрицы столбцы размерности n на 1), то общее решение этой однородной системы формула представляется в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами С1, С2, …, С(n-r), то есть, формула.

Что обозначает термин общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (орослау)?

Смысл прост: формула формула задает все возможные решения исходной СЛАУ, другими словами, взяв любой набор значений произвольных постоянных С1, С2, …, С(n-r), по формуле формула мы получим одно из решений исходной однородной СЛАУ.

Таким образом, если мы найдем фундаментальную систему решений, то мы сможем задать все решения этой однородной СЛАУ как формула.

Покажем процесс построения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ.

Выбираем базисный минор исходной системы линейных уравнений, исключаем все остальные уравнения из системы и переносим в правые части уравнений системы с противоположными знаками все слагаемые, содержащие свободные неизвестные переменные. Придадим свободным неизвестным переменным значения 1,0,0,…,0 и вычислим основные неизвестные, решив полученную элементарную систему линейных уравнений любым способом, например, методом Крамера. Так будет получено X(1) - первое решение фундаментальной системы. Если придать свободным неизвестным значения 0,1,0,0,…,0 и вычислить при этом основные неизвестные, то получим X(2). И так далее. Если свободным неизвестным переменным придадим значения 0,0,…,0,1 и вычислим основные неизвестные, то получим X(n-r). Так будет построена фундаментальная система решений однородной СЛАУ и может быть записано ее общее решение в виде формула.

Для неоднородных систем линейных алгебраических уравнений общее решение представляется в виде формула, где формула - общее решение соответствующей однородной системы, а формула - частное решение исходной неоднородной СЛАУ, которое мы получаем, придав свободным неизвестным значения 0,0,…,0 и вычислив значения основных неизвестных.

Разберем на примерах.

Пример.

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений формула.

Решение.

Ранг основной матрицы однородных систем линейных уравнений всегда равен рангу расширенной матрицы. Найдем ранг основной матрицы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем элемент a1 1 = 9 основной матрицы системы. Найдем окаймляющий ненулевой минор второго порядка:
формула

Минор второго порядка, отличный от нуля, найден. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка в поисках ненулевого:
формула

Все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг основной и расширенной матрицы равен двум. Базисным минором возьмем формула. Отметим для наглядности элементы системы, которые его образуют:
формула

Третье уравнение исходной СЛАУ не участвует в образовании базисного минора, поэтому, может быть исключено:
формула

Оставляем в правых частях уравнений слагаемые, содержащие основные неизвестные, а в правые части переносим слагаемые со свободными неизвестными:
формула

Построим фундаментальную систему решений исходной однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений данной СЛАУ состоит из двух решений, так как исходная СЛАУ содержит четыре неизвестных переменных, а порядок ее базисного минора равен двум. Для нахождения X(1) придадим свободным неизвестным переменным значения x2 = 1, x4 = 0, тогда основные неизвестные найдем из системы уравнений
формула.

Решим ее методом Крамера:
формула

Таким образом, формула.

Теперь построим X(2). Для этого придадим свободным неизвестным переменным значения x2 = 0, x4 = 1, тогда основные неизвестные найдем из системы линейных уравнений
формула.

Опять воспользуемся методом Крамера:
формула

Получаем формула.

Так мы получили два вектора фундаментальной системы решений формула и формула, теперь мы можем записать общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений:
формула, где C1 и C2 – произвольные числа.

Пример.

Найдите общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений формула.

Решение.

Общее решение этой системы уравнений будем искать в виде формула.

Исходной неоднородной СЛАУ соответствует однородная система
формула
общее решение которой мы нашли в предыдущем примере
формула.

Следовательно, нам осталось найти частное решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений формула.

Ранг основной матрицы системы равен двум, ранг расширенной матрицы системы также равен двум, так как все миноры третьего порядка, окаймляющие минор формула, равны нулю. Также примем минор формула в качестве базисного, исключим третье уравнение из системы и перенесем слагаемые со свободными неизвестными в правые части уравнений системы:
формула

Для нахождения формула придадим свободным неизвестным переменным значения x2 = 0 и x4 = 0, тогда система уравнений примет вид формула, откуда методом Крамера найдем основные неизвестные переменные:
формула

Имеем формула, следовательно,
формула
где C1 и C2 – произвольные числа.

Следует заметить, что решения неопределенной однородной системы линейных алгебраических уравнений порождают линейное пространство размерности (n – r), базисом которого является фундаментальная система решений.

Решение систем уравнений, сводящихся к СЛАУ.

Некоторые системы уравнений с помощью замены переменных можно свести к линейным. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Решите систему уравнений формула.

Решение.

Так как формула, то система примет вид формула. Введем новые переменные формула. При такой замене исходная система уравнений сведется к системе линейных уравнений формула.

Вычислим определитель основной матрицы системы:
формула

Так как он отличен от нуля и число неизвестных переменных равно числу уравнений системы, то эта система определена. Найдем ее решение методом Крамера:
формула

Выполнив обратную замену, приходим к системе уравнений формула, откуда находим ее решения формула.

Пример.

Найдите все решения системы уравнений формула.

Решение.

Заменой переменных формула исходная система сводится к СЛАУ формула.

Вычислим определитель основной матрицы системы:
формула

Он отличен от нуля. Найдем решение матричным методом.
формула

Выполняем обратную замену формула.

Ответ:

формула

Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Чтобы показать большую практическую значимость решения систем линейных алгебраических уравнений, разберем несколько задач из различных разделов математики, которые сводятся к решению СЛАУ.

Пример.

Составьте каноническое уравнение эллипсоида, проходящего через три точки формула.

Решение.

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид формула. Наша задача состоит в определении параметров a, b и с. Так как эллипсоид проходит через точки А, В и С, то при подстановке их координат в каноническое уравнение эллипсоида оно должно обращаться в тождество. Так мы получим систему из трех уравнений:
формула

Обозначим формула, тогда система станет системой линейных алгебраических уравнений формула.

Вычислим определитель основной матрицы системы:
формула

Так как он отличен от нуля, то решение мы можем найти методом Крамера:
формула

Проведем обратную замену
формула

Следовательно, искомое каноническое уравнение эллипсоида имеет вид формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Представьте дробно рациональное выражение формула в виде суммы простейших дробей.

Решение.

Очень подробно решение подобных примеров разобрано в разделе разложение дроби на простейшие.

Разложим многочлен, находящийся в знаменателе, на множители (при необходимости смотрите статью разложение многочлена на множители). Очевидно, что x = 0 и x = 1 являются корнями этого многочлена. Частным от деления формула на формула является формула. Таким образом, имеем разложение формула и исходное выражение примет вид формула.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
формула

Приравняв соответствующие коэффициенты числителей, приходим к системе линейных алгебраических уравнений формула. Ее решение даст нам искомые неопределенные коэффициенты А, В, С и D.

Решим систему методом Гаусса:
формула

При обратном ходе метода Гаусса находим D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Получаем,
формула

Ответ:

формула.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+