Системы, решение систем уравнений и неравенств Помощь в написании работ

Метод Гаусса: описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.


Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

Краткий обзор статьи.

Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения.

Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров.

В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах.


Основные определения и обозначения.

Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n):
формула
где формула - неизвестные переменные, формула - числа (действительные или комплексные), формула - свободные члены.

Если формула, то система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Совокупность значения неизвестных переменных формула, при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ.

Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной.

Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид
формула.

Эта система в матричной форме записи имеет вид формула, где формула - основная матрица СЛАУ, формула - матрица столбец неизвестных переменных, формула - матрица свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,
формула

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если формула, то матрица А называется невырожденной.

Следует оговорить следующий момент.

Если с системой линейных алгебраических уравнений формула произвести следующие действия

то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).

Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:

Теперь можно переходить к описанию метода Гаусса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.


Как бы мы поступили в школе, если бы получили задание найти решение системы уравнений формула.

Некоторые сделали бы так.

Заметим, что прибавив к левой части второго уравнения левую часть первого, а к правой части - правую, можно избавиться от неизвестных переменных x2 и x3 и сразу найти x1:
формула

Подставляем найденное значение x1=1 в первое и третье уравнение системы:
формула

Если умножить обе части третьего уравнения системы на -1 и прибавить их к соответствующим частям первого уравнения, то мы избавимся от неизвестной переменной x3 и сможем найти x2:
формула

Подставляем полученное значение x2=2 в третье уравнение и находим оставшуюся неизвестную переменную x3:
формула

Другие поступили бы иначе.

Разрешим первое уравнение системы относительно неизвестной переменной x1 и подставим полученное выражение во второе и третье уравнение системы, чтобы исключить из них эту переменную:
формула

Теперь разрешим второе уравнение системы относительно x2 и подставим полученный результат в третье уравнение, чтобы исключить из него неизвестную переменную x2:
формула

Из третьего уравнения системы видно, что x3=3. Из второго уравнения находим формула, а из первого уравнения получаем формула.

Знакомые способы решения, не правда ли?

Самое интересное здесь то, что второй способ решения по сути и есть метод последовательного исключения неизвестных, то есть, метод Гаусса. Когда мы выражали неизвестные переменные (сначала x1, на следующем этапе x2) и подставляли их в остальные уравнения системы, мы тем самым исключали их. Исключение мы проводили до того момента, пока в последнем уравнении не осталась одна единственная неизвестная переменная. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода у нас появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную и так далее. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Следует заметить, что когда мы выражаем x1 через x2 и x3 в первом уравнении, а затем подставляем полученное выражение во второе и третье уравнения, то к такому же результату приводят следующие действия:

Действительно, такая процедура также позволяет исключить неизвестную переменную x1 из второго и третьего уравнений системы:
формула

Нюансы с исключением неизвестных переменных по методу Гаусса возникают тогда, когда уравнения системы не содержат некоторых переменных.

Например, в СЛАУ формула в первом уравнении отсутствует неизвестная переменная x1 (иными словами, коэффициент перед ней равен нулю). Поэтому мы не можем разрешить первое уравнение системы относительно x1, чтобы исключить эту неизвестную переменную из остальных уравнений. Выходом из этой ситуации является перестановка местами уравнений системы. Так как мы рассматриваем системы линейных уравнений, определители основных матриц которых отличны от нуля, то всегда существует уравнение, в котором присутствует нужная нам переменная, и мы это уравнение можем переставить на нужную нам позицию. Для нашего примера достаточно поменять местами первое и второе уравнения системы формула, дальше можно разрешить первое уравнение относительно x1 и исключить ее из остальных уравнений системы (хотя во втором уравнении x1 уже отсутствует).

Надеемся, что суть Вы уловили.

Опишем алгоритм метода Гаусса.

Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными вида формула, и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.

Будем считать, что формула, так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на формула, к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на формула, и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на формула. Система уравнений после таких преобразований примет вид
формула
где формула, а формула.

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
формула

Будем считать, что формула (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где формула). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на формула, к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на формула, и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на формула. Система уравнений после таких преобразований примет вид
формула
где формула, а формула. Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x3, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы
формула

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
формула

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как формула, с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.

Разберем алгоритм на примере.

Пример.

Найдите решение системы уравнений формула методом Гаусса.

Решение.

Коэффициент a11 отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x1 из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения прибавим левую и правую части первого уравнения, умноженные соответственно на формула, формула и формула:
формула

Неизвестную переменную x1 исключили, переходим к исключению x2. К левым и правым частям третьего и четвертого уравнений системы прибавляем левую и правую части второго уравнения, умноженные соответственно на формула и формула:
формула

Для завершения прямого хода метода Гаусса нам осталось исключить неизвестную переменную x3 из последнего уравнения системы. Прибавим к левой и правой частям четвертого уравнения соответственно левую и правую часть третьего уравнения, умноженную на формула:
формула

Можно начинать обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения имеем формула,
из третьего уравнения получаем формула,
из второго формула,
из первого формула.

Для проверки можно подставить полученные значения неизвестных переменных в исходную систему уравнений. Все уравнения обращаются в тождества, что говорит о том, что решение по методу Гаусса найдено верно.

Ответ:

формула.

А сейчас приведем решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи.

Пример.

Найдите решение системы уравнений формула методом Гаусса.

Решение.

Расширенная матрица системы имеет вид формула. Сверху над каждым столбцом записаны неизвестные переменные, которым соответствуют элементы матрицы.

Прямой ход метода Гаусса здесь предполагает приведение расширенной матрицы системы к трапецеидальному виду с помощью элементарных преобразований. Этот процесс схож с исключением неизвестных переменных, которое мы проводили с системой в координатной форме. Сейчас Вы в этом убедитесь.

Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы в первом столбце, начиная со второго, стали нулевыми. Для этого к элементам второй, третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки умноженные на формула, формула и на формула соответственно:
формула

Далее полученную матрицу преобразуем так, чтобы во втором столбце все элементы, начиная с третьего стали нулевыми. Это будет соответствовать исключению неизвестной переменной x2. Для этого к элементам третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки матрицы, умноженные соответственно на формула и формула:
формула

Осталось исключить неизвестную переменную x3 из последнего уравнения системы. Для этого к элементам последней строки полученной матрицы прибавим соответствующие элементы предпоследней строки, умноженные на формула:
формула

Следует отметить, что эта матрица соответствует системе линейных уравнений
формула
которая была получена ранее после прямого хода.

Пришло время обратного хода. В матричной форме записи обратный ход метода Гаусса предполагает такое преобразование полученной матрицы, чтобы матрица, отмеченная на рисунке
формула
стала диагональной, то есть, приняла вид
формула
где формула - некоторые числа.

Эти преобразования аналогичны преобразованиям прямого хода метода Гаусса, но выполняются не от первой строки к последней, а от последней к первой.

Прибавим к элементам третьей, второй и первой строк соответствующие элементы последней строки, умноженные на формула, на формула и на формула соответственно:
формула

Теперь прибавим к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на формула и на формула соответственно:
формула

На последнем шаге обратного хода метода Гаусса к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на формула:
формула

Полученная матрица соответствует системе уравнений формула, откуда находим неизвестные переменные.

Ответ:

формула.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

При использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений следует избегать приближенных вычислений, так как это может привести к абсолютно неверным результатам. Рекомендуем не округлять десятичные дроби. Лучше от десятичных дробей переходить к обыкновенным дробям.

Пример.

Решите систему из трех уравнений методом Гаусса формула.

Решение.

Отметим, что в этом примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (не x1, x2, x3, а x, y, z). Перейдем к обыкновенным дробям:
формула

Исключим неизвестную x из второго и третьего уравнений системы:
формула

В полученной системе во втором уравнении отсутствует неизвестная переменная y, а в третьем уравнении y присутствует, поэтому, переставим местами второе и третье уравнения:
формула

На этом прямой ход метода Гаусса закончен (из третьего уравнения не нужно исключать y, так как этой неизвестной переменной уже нет).

Приступаем к обратному ходу.

Из последнего уравнения находим формула,
из предпоследнего
формула
из первого уравнения имеем
формула

Ответ:

x = 10, y = 5, z = -20.

Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.

Системы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений.

Сейчас мы разберемся, как метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения (или одно единственное решение).

В принципе процесс исключения неизвестных переменных в случае таких СЛАУ остается таким же. Однако следует подробно остановиться на некоторых ситуациях, которые могут возникнуть.

  1. На определенном этапе исключения неизвестных переменных некоторые уравнения системы могут обратиться в тождества формула. Это говорит о том, что такие уравнения излишни, то есть, их можно смело убрать из системы уравнений и продолжить прямой ход метода Гаусса.

    К примеру, при исключении x1 из второго и третьего уравнений системы формула
    мы имеем такую ситуацию:
    формула

    Следовательно, второе уравнение можно удалить из системы
    формула
    и продолжить решение.

  2. При проведении прямого хода метода Гаусса одно (или несколько) уравнений системы могут принять вид формула, где формула - некоторое число, отличное от нуля. Это говорит о том, что уравнение, которое обратилось в равенство формула, не может обратиться в тождество ни при каких значениях неизвестных переменных. Другими словами, система линейных алгебраических уравнений в этом случае несовместна (не имеет решения). Наиболее часто такие ситуации встречаются, когда число уравнений в системе больше числа неизвестных переменных.

    Пример.

    Найдите решение системы линейных уравнений формула методом Гаусса.

    Решение.

    Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого прибавим к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения левую и правую части первого уравнения, умноженные на (-1), (-2) и (-3) соответственно:
    формула

    Равенство 0=-2, которое получилось в третьем уравнении системы, не достижимо ни для каких значений неизвестных переменных x1, x2 и x3, поэтому, исходная система уравнений решений не имеет.

    Ответ:

    система несовместна.

  3. Предположим, что мы выполняем прямой ход метода Гаусса, и мы подошли к моменту исключения неизвестной переменной xk, а на каком-то предыдущем i-ом шаге (i < k) эта переменная уже исключилась вместе с xi. Как поступать в данном случае? В этом случае следует перейти к исключению неизвестной переменной xk+1. Если xk+1 также уже исключилась, то переходим к xk+2 и так далее.

    К примеру, после исключения неизвестной переменной x1 система уравнений
    формула
    принимает вид
    формула.

    Вместе с x1 исключились x2 и x3. Так что прямой ход метода Гаусса продолжаем исключением переменной x4 из всех уравнений, начиная с третьего:
    формула

    Далее останется исключить x5 из последнего уравнения для завершения прямого хода метода Гаусса.

Переходим к самому важному этапу.

Итак, допустим, что система линейных алгебраических уравнений после завершения прямого хода метода Гаусса приняла вид формула и ни одно уравнение не свелось к формула (в этом случае мы бы сделали вывод о несовместности системы). Возникает логичный вопрос: «Что делать дальше»?

Выпишем неизвестные переменные, которые стоят на первом месте всех уравнений полученной системы:
формула

В нашем примере это x1, x4 и x5. В левых частях уравнений системы оставляем только те слагаемые, которые содержат выписанные неизвестные переменные x1, x4 и x5, остальные слагаемые переносим в правую часть уравнений с противоположным знаком:
формула

Придадим неизвестным переменным, которые находятся в правых частях уравнений, произвольные значения формула, где формула - произвольные числа:
формула

После этого в правых частях всех уравнений нашей СЛАУ находятся числа и можно преступать к обратному ходу метода Гаусса.

Из последнего уравнений системы имеем формула, из предпоследнего уравнения находим формула, из первого уравнения получаем
формула

Решением системы уравнений является совокупность значений неизвестных переменных
формула

Придавая числам формула различные значения, мы будем получать различные решения системы уравнений. То есть, наша система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ:
формула
где формула - произвольные числа.

Для закрепления материала подробно разберем решения еще нескольких примеров.

Пример.

Решите однородную систему линейных алгебраических уравнений формула методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную переменную x из второго и третьего уравнений системы. Для этого к левой и правой части второго уравнения прибавим соответственно левую и правую части первого уравнения, умноженные на формула, а к левой и правой части третьего уравнения - левую и правую части первого уравнения, умноженные на формула:
формула

Теперь исключим y из третьего уравнения полученной системы уравнений:
формула

Полученная СЛАУ равносильна системе формула.

Оставляем в левой части уравнений системы только слагаемые, содержащие неизвестные переменные x и y, а слагаемые с неизвестной переменной z переносим в правую часть:
формула

Примем формула, где формула - произвольное число, тогда система линейных уравнений примет вид формула и можно находить неизвестные переменные x и y, выполняя обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения системы имеем формула, тогда из первого уравнения находим формула.

Ответ:

формула, где формула - произвольное число.

Пример.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений больше числа неизвестных переменных формула.

Решение.

Системы линейных уравнений такого вида мы можем решать методом Гаусса.

Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго:
формула

Исключаем x2 из всех уравнений системы, начиная с третьего:
формула

Третье, четвертое и пятое уравнения полученной системы можно отбросить, при этом получим формула. В левых частях уравнений оставляем слагаемые, содержащие неизвестные переменные x1 и x2, а остальные слагаемые переносим в правые части соответствующих уравнений:
формула

Принимаем формула, где формула - произвольные числа, при этом СЛАУ принимает вид формула.

Из последнего уравнения системы имеем формула, а из первого уравнения получаем
формула

Так методом Гаусса мы нашли бесконечное множество решений исходной системы уравнений.

Ответ:

формула, где формула - произвольные числа.

Пример.

Решите систему линейных уравнений, если она совместна формула.

Решение.

Проведем решение методом Гаусса, так как этот метод нам позволит выяснить, совместна система или нет и в случае ее совместности определить решение.

Исключим неизвестную переменную x1 из второго и третьего уравнений системы, прибавив к левой и правой части второго и третьего уравнения левую и правую части первого уравнения, умноженные на формула и формула соответственно:
формула

Исключим x2 из третьего уравнения:
формула

Последнее уравнение приняло вид 0 = - 1, из этого можно сделать вывод о несовместности системы.

Ответ:

система уравнений решений не имеет.

Пример.

Решите методом Гаусса систему линейных уравнений формула.

Решение.

Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x1, поэтому, прежде чем начать прямой ход метода Гаусса, переставим местами первое и второе уравнения:
формула

Исключаем x1:
формула

Исключаем x2:
формула

Исключаем x3:
формула

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, и вид системы позволяет сразу переходить к обратному ходу. Из последнего уравнения определяем x3 = 0. Из второго уравнения находим формула, из первого уравнения системы имеем
формула

Таким образом, исходная система определена, то есть, имеет единственное решение.

Ответ:

x1=1, x2=-2, x3=0.

Пример.

Решите систему уравнений формула методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную переменную x1 из второго и третьего уравнений:
формула

Вместе с x1 исключилась неизвестная x2, поэтому переходим к исключению x3 из третьего уравнения системы:
формула

Оставляем в левой части уравнений системы слагаемые, содержащие x1, x3 и x4, остальные переносим в правые части:
формула

Примем формула, где формула - произвольные числа, тогда система примет вид
формула
и при обратном ходе метода Гаусса находим
формула

Ответ:

формула, где формула - произвольные числа.

Подведем итог.

Мы рассмотрели решение различных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Можно сделать следующие выводы:

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+