Матричный метод решения систем линейных уравнений.
В этой статье поговорим о матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида 
, которые в матричной форме записываются как 
, где 
- основная матрица системы, 
- матрица-столбец неизвестных переменных, 
- матрица свободных членов.
Сначала опишем суть матричного метода, остановимся на условии применимости этого метода, далее подробно разберем решения нескольких примеров.
Сразу оговоримся, что решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и решение СЛАУ с помощью обратной матрицы есть одно и то же. Поэтому рекомендуем освежить в памяти теорию раздела обратная матрица: определение, свойства, методы нахождения.
Приступим.
Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений - вывод формулы.
Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица 
. Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем 
. Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как 
, а по определению обратной матрицы 
(E – единичная матрица порядка n на n), поэтому
Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле 
. Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .
Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы.
Пример.
С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений 
.
Решение.
В матричной форме исходная система запишется как , где 
. Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем 
, следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как 
. Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.
Мы знаем, что для матрицы 
обратная матрица может быть найдена как 
, где 
- алгебраические дополнения элементов 
.
В нашем случае
Тогда
Выполним проверку полученного решения 
, подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
или в другой записи 
.
Пример.
Решите СЛАУ 
матричным методом.
Решение.
Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x2, второе – x1, третье – x3. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как 
. От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ 
. Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что 
:
Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений:
тогда,
Осталось найти решение СЛАУ:
Рекомендуем выполнить проверку.
Ответ:
.
При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ 
НЕЛЬЗЯ записать как 
. Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:
или
Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместо x1, x2, …, xn могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ 
в матричной форме запишется как 
.
Разберем пример.
Пример.
Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений 
с помощью обратной матрицы.
Решение.
Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме 
. Вычислим определитель основной матрицы:
Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как 
. Найдем обратную матрицу по формуле 
:
Получим искомое решение:
Ответ:
x = 0, y = -2, z = 3.
Пример.
Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений 
матричным методом.
Решение.
Определитель основной матрицы системы равен нулю
поэтому, мы не можем применить матричный метод.
Нахождение решения подобных систем описано в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений.
Пример.
Решите СЛАУ 
матричным методом, 
- некоторое действительное число.
Решение.
Система уравнений в матричной форме имеет вид 
. Вычислим определитель основной матрицы системы и убедимся в том, что он отличен от нуля:
Квадратных трехчлен 
не обращается в ноль ни при каких действительных значениях , так как его дискриминант отрицателен 
, поэтому определитель основной матрицы системы не равен нулю ни при каких действительных . По матричному методу имеем 
. Построим обратную матрицу по формуле :
Тогда
Рекомендуем выполнить проверку полученного результата.
Ответ:
.
Подведем итог.
Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.
Некогда разбираться?