Системы, решение систем уравнений и неравенств Помощь в написании работ

Матричный метод решения систем линейных уравнений.


В этой статье поговорим о матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида формула, которые в матричной форме записываются как формула, где формула - основная матрица системы, формула - матрица-столбец неизвестных переменных, формула - матрица свободных членов.

Сначала опишем суть матричного метода, остановимся на условии применимости этого метода, далее подробно разберем решения нескольких примеров.

Сразу оговоримся, что решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и решение СЛАУ с помощью обратной матрицы есть одно и то же. Поэтому рекомендуем освежить в памяти теорию раздела обратная матрица: определение, свойства, методы нахождения.

Приступим.


Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений - вывод формулы.

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица формула. Умножим обе части матричного уравнения формула слева на формула (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем формула. Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как формула, а по определению обратной матрицы формула (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому
формула

Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле формула. Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы формула.

Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу формула только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.


Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы.

Пример.

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений формула.

Решение.

В матричной форме исходная система запишется как формула, где формула. Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем формула, следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица формула. Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как формула. Итак, задача свелась к построению обратной матрицы формула. Найдем ее.

Мы знаем, что для матрицы формула обратная матрица может быть найдена как формула, где формула - алгебраические дополнения элементов формула.

В нашем случае
формула

Тогда
формула

Выполним проверку полученного решения формула, подставив его в матричную форму исходной системы уравнений формула. Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
формула

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

формула или в другой записи формула.

Пример.

Решите СЛАУ формула матричным методом.

Решение.

Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x2, второе – x1, третье – x3. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как формула. От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ формула. Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что формула:
формула

Построим обратную матрицу формула с помощью матрицы из алгебраических дополнений:
формула
тогда,
формула

Осталось найти решение СЛАУ:
формула

Рекомендуем выполнить проверку.

Ответ:

формула.

При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ формула НЕЛЬЗЯ записать как формула. Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:
формула
или
формула

Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместо x1, x2, …, xn могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ формула в матричной форме запишется как формула.

Разберем пример.

Пример.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений формула с помощью обратной матрицы.

Решение.

Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме формула. Вычислим определитель основной матрицы:
формула

Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как формула. Найдем обратную матрицу по формуле формула:
формула

Получим искомое решение:
формула

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3.

Пример.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений формула матричным методом.

Решение.

Определитель основной матрицы системы равен нулю
формула
поэтому, мы не можем применить матричный метод.

Нахождение решения подобных систем описано в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений.

Пример.

Решите СЛАУ формула матричным методом, формула - некоторое действительное число.

Решение.

Система уравнений в матричной форме имеет вид формула. Вычислим определитель основной матрицы системы и убедимся в том, что он отличен от нуля:
формула

Квадратных трехчлен формула не обращается в ноль ни при каких действительных значениях формула, так как его дискриминант отрицателен формула, поэтому определитель основной матрицы системы не равен нулю ни при каких действительных формула. По матричному методу имеем формула. Построим обратную матрицу по формуле формула:
формула

Тогда
формула

Рекомендуем выполнить проверку полученного результата.

Ответ:

формула.

Подведем итог.

Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+