Системы, решение систем уравнений и неравенств Помощь в написании работ

Равносильные системы неравенств, преобразование систем


Продолжаем разговор про равносильность систем. Нам уже известно, что такое равносильные системы уравнений. Сейчас по схожей схеме мы познакомимся с равносильными системами неравенств: сначала дадим определение, после этого покажем, какие преобразования можно проводить с неравенствами системы, чтобы полученная после их проведения система была равносильна исходной.


Определение, примеры

Авторы учебников алгебры почему-то старательно избегают использования термина «равносильные системы неравенств», хотя термин «равносильные системы уравнений» в ходу. Но в тоже время встречаются описания решений систем неравенств следующего формата (см. [1, с. 185]): . И если ввести определение равносильных систем неравенств по аналогии с определением равносильных систем уравнений, то подобные записи можно трактовать так: начальная система неравенств заменяется равносильными ей системами более простого вида. Давайте дадим такое определение равносильных систем неравенств.

Определение.

Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.

Равносильны ли данные системы неравенств?


Если известны решения данных систем, то ответ на поставленный вопрос можно дать сразу, основываясь на определении равносильных систем неравенств. Пусть, например, известно, что система не имеет решений, как и система . По определению системы неравенств не имеющие решений являются равносильными, значит, данные системы равносильны.

А как быть, если решения неизвестны? Первое, что приходит на ум, это найти решения данных систем неравенств и сделать соответствующий вывод. Но иногда можно обойтись и без этого, если заметить, что одна система может быть получена из другой при помощи так называемых равносильных преобразований, которые мы сейчас и разберем.

Равносильные преобразования систем неравенств

Практически значимых равносильных преобразований для систем неравенств меньше, чем для систем уравнений. Рассмотрим по очереди два из них, которые являются самыми основными и самыми часто используемыми: перестановку местами неравенств системы, а также замену неравенства системы на равносильное ему неравенство. Их можно назвать свойствами систем неравенств. Сформулируем и обоснуем их.

Список литературы.

  1. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+