Системы, решение систем уравнений и неравенств Помощь в написании работ

Метод Крамера.


Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

При изучении материала Вам может быть полезна статья вычисление определителя матрицы, свойства определителя.


Метод Крамера - вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида
формула
где x1, x2, …, xn – неизвестные переменные, ai j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b1, b2, …, bn - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x1, x2, …, xn при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где формула - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, формула - матрица – столбец свободных членов, а формула - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x1, x2, …, xn, матрица формула становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество формула.

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при формула разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

  1. Определитель квадратной матрицы формула равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
    формула
  2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:
    формула

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x1. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А1 1 , обе части второго уравнения – на А2 1 , и так далее, обе части n-ого уравнения – на Аn 1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):
формула

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, …, xn, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:
формула

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем
формула
и предыдущее равенство примет вид
формула
откуда
формула

Аналогично находим x2. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А:
формула

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, …, xn и применяем свойства определителя:
формула

Откуда
формула.

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

формула

то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера формула.

Замечание.

Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть формула, то она имеет лишь тривиальное решение формула (при формула). Действительно, при нулевых свободных членах все определители формула будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы формула дадут формула.

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.


Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

  1. Вычисляем определитель основной матрицы системы формула и убеждаемся, что он отличен от нуля.
  2. Находим определители
    формула
    которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.
  3. Вычисляем искомые неизвестные переменные x1, x2, …, xn по формулам формула.
  4. Выполняем проверку результатов, подставляя x1, x2, …, xn в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера формула.

Решение.

Основная матрица системы имеет вид формула. Вычислим ее определитель по формуле формула:
формула

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители формула и формула. Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель формула. Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем формула.

Вычисляем эти определители:
формула

Находим неизвестные переменные x1 и x2 по формулам формула:
формула

Выполним проверку. Подставим полученные значения x1 и x2 в исходную систему уравнений:
формула

Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

формула.

Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример.

Пример.

Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера формула.

Решение.

Перепишем систему в виде формула, чтобы стало видно основную матрицу системы формула. Найдем ее определитель по формуле
формула

Имеем
формула

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители формула:
формула

Таким образом,
формула

Ответ:

формула.

Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x1, x2, …, xn. Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.

Пример.

Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными формула.

Решение.

В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x, y и z вместо x1, x2 и x3). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать формула. Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как формула. Теперь основную матрицу системы хорошо видно формула. Вычислим ее определитель:
формула

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители формула (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:
формула

Осталось найти неизвестные переменные по формулам формула:
формула

Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение формула (при необходимости смотрите раздел операции над матрицами):
формула

В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3.

Пример.

Решите методом Крамера систему линейных уравнений формула, где a и b – некоторые действительные числа.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы:
формула

Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить метод Крамера.
формула

Находим неизвестные переменные
формула

Рекомендуем проверить полученные результаты.

Ответ:

формула.

Пример.

Найдите решение системы уравнений формула методом Крамера, формула - некоторое действительное число.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы: формула. Область значений выражения формула есть интервал формула, поэтому формула при любых действительных значениях формула. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем формула и формула:
формула

Таким образом, формула.

Выполним проверку:
формула

Уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

формула.

Пример.

Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера формула.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы уравнений:
формула

Определитель основной матрицы равен нулю, следовательно, метод Крамера не подходит для решения такой системы уравнений.

Пример.

Методом Крамера найдите решение СЛАУ формула.

Решение.

Эта система однородная, так как все свободные члены равны нулю. Определитель основной матрицы отличен от нуля формула, поэтому ее единственным решением является x1 = 0, x2 = 0. О таких СЛАУ мы уже упоминали выше в замечании.

Ответ:

x1 = 0, x2 = 0.

Пример.

Найдите решение системы четырех линейных алгебраических уравнений формула содержащую четыре неизвестных переменных.

Решение.

Сразу скажем, что не будем подробно описывать вычисление определителей матриц, так как это выходит за рамки данной статьи.

Вычислим определитель основной матрицы системы, разложив его по элементам второй строки:
формула

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому можно воспользоваться методом Крамера для решения системы.

Найдем формула:
формула
аналогично вычисляются
формула

Таким образом,
формула

Ответ:

формула.

Подведем итог.

Метод Крамера позволяет находить решение систем линейных алгебраических уравнений, если определитель основной матрицы отличен от нуля. По сути метод сводится к вычислению определителей матриц порядка n на n и применению соответствующих формул для нахождения неизвестных переменных.

Если число уравнений в системе велико (больше трех), то целесообразно искать решение методом Гаусса.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+