Математика на cleverstudents.ru

Карта сайта.

Множества

• Числовые множества: обозначения, запись, изображение.
• Пересечение и объединение числовых множеств.

Натуральные числа и действия над ними.

• Натуральные числа - основы.
• Сравнение натуральных чисел: равно или не равно, больше или меньше?
• Общее представление о сложении натуральных чисел.
• Общее представление о вычитании натуральных чисел.
• Общее представление об умножении натуральных чисел.
• Общее представление о делении натуральных чисел.
• Общее представление о делении натуральных чисел с остатком.
• Свойства сложения натуральных чисел.
• Свойства вычитания натуральных чисел.
• Свойства умножения натуральных чисел.
• Свойства деления натуральных чисел.
• Сложение натуральных чисел: правила, примеры и решения.
• Вычитание натуральных чисел, правила, примеры и решения.
• Умножение натуральных чисел: правила, примеры, решения.
• Деление натуральных чисел: правила, примеры и решения.
• Деление натуральных чисел с остатком: правила, примеры и решения.
• Сложение натуральных чисел столбиком (сложение в столбик).
• Вычитание натуральных чисел столбиком (сложение в столбик).
• Умножение натуральных чисел столбиком (умножение в столбик).
• Деление натуральных чисел столбиком (деление в столбик).
• Сумма разрядных слагаемых натурального числа.

Целые числа и действия над ними.

• Целые числа – общее представление.
• Сравнение целых чисел, правила, примеры и решения.
• Сложение целых чисел - общее представление, правила, примеры, решения.
• Вычитание целых чисел - правила, примеры, решения.
• Умножение целых чисел - правила, примеры, решения.
• Деление целых чисел - правила, примеры, решения.
• Деление целых чисел с остатком, правила, примеры.
• Свойства сложения, умножения, вычитания и деления целых чисел.

Делимость.

• Делимость целых чисел, понятие, свойства делимости.
• Делители числа и кратные числа, определения, примеры.
• Наибольший общий делитель (НОД), определение, примеры, свойства НОД.
• Нахождение НОД - алгоритм Евклида и другие способы.
• НОК - наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД.
• Нахождение НОК - способы и примеры нахождения НОК.
• Число делителей числа, все делители числа.
• Простые и составные числа, таблица простых чисел, решето Эратосфена.
• Взаимно простые числа, определения, примеры, свойства взаимно простых чисел.
• Основная теорема арифметики, формулировка, доказательство.
• Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения.
• Признаки делимости.
• Признак делимости на 2, примеры, доказательство.
• Признак делимости на 3, примеры, доказательство.
• Признак делимости на 4, примеры, доказательство.
• Признак делимости на 5, примеры, доказательство.
• Признак делимости на 6, примеры, доказательство.
• Признак делимости на 8, примеры, доказательство.
• Признак делимости на 9, примеры, доказательство.
• Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее, примеры, доказательства.

Положительные и отрицательные числа.

• Противоположные числа.
• Положительные и отрицательные числа.
• Сравнение отрицательных чисел, правило, примеры. числа.
• Сравнение чисел с разными знаками, правило, примеры.
• Сложение отрицательных чисел, правило, примеры.
• Сложение чисел с разными знаками, правило, примеры.
• Вычитание отрицательного числа, правило, примеры.
• Вычитание чисел с разными знаками, правило, примеры.
• Умножение отрицательных чисел, правило, примеры.
• Умножение чисел с разными знаками, правило, примеры.
• Деление отрицательных чисел, правило, примеры.
• Деление чисел с разными знаками, правило, примеры.

Обыкновенные дроби и действия с ними.

• Доли, обыкновенные дроби, определения, обозначения, примеры, действия с дробями.
• Основное свойство дроби, формулировка, доказательство, примеры применения.
• Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры.
• Сокращение дробей, правило и примеры сокращения дробей.
• Приведение дробей к новому знаменателю, правило и примеры.
• Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю, правило, примеры, решения.
• Сравнение дробей: правила, примеры, решения.
• Сложение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.
• Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.
• Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.
• Взаимно обратные числа, нахождение числа, обратного данному числу.
• Деление обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.

Смешанные числа и действия с ними.

• Смешанные числа, перевод смешанного числа в неправильную дробь и обратно.
• Сравнение смешанных чисел: правила, примеры, решения.
• Сложение смешанных чисел: правила, примеры, решения.
• Вычитание смешанных чисел: правила, примеры, решения.
• Умножение смешанных чисел: правила, примеры, решения.
• Деление смешанных чисел: правила, примеры, решения.

Десятичные дроби и действия с ними.

• Десятичные дроби – определения, примеры, действия с десятичными дробями.
• Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь и обратно, правила, примеры.
• Сравнение конечных и бесконечных десятичных дробей, правила, примеры, решения.
• Сложение десятичных дробей, правила, примеры, решения.
• Вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения.
• Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.
• Деление десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Рациональные числа и действия с ними.

• Рациональные числа, определение, примеры.
• Сравнение рациональных чисел, правила, примеры.
• Действия с рациональными числами, правила, примеры, решения.
• Свойства действий с рациональными числами.

Иррациональные числа.

• Иррациональные числа, определение, примеры.

Действительные числа и действия с ними.

• Действительные числа, определение, примеры.

Степень числа.

• Степень числа: определение степени, примеры.
• Свойства степеней.
• Возведение в степень, правила, примеры.

Корень из числа.

• Корень из числа: определения, примеры.
• Свойства корней.
• Извлечение корней: способы, примеры, решения.

Модуль, свойства модуля.

• Модуль числа (абсолютная величина числа), определения, примеры, свойства.

Логарифм числа по основанию.

• Определение логарифма, основное логарифмическое тождество.
• Свойства логарифмов, формулы и их доказательство.
• Вычисление логарифмов: способы, примеры, решения.

Основы тригонометрии, основные тригонометрические формулы.

• Перевод градусов в радианы и обратно, формулы, примеры.
• Единичная окружность в тригонометрии.
• Угол в тригонометрии – угол поворота.
• Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии.
• Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
• Значения тригонометрических функций, нахождение значений.
• Таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.
• Тригонометрические формулы – список основных формул.
• Основные тригонометрические тождества, вывод формул.
• Формулы приведения, их доказательство, примеры.
• Формулы сложения в тригонометрии, их доказательство, примеры.
• Формулы двойного угла, доказательство, примеры.
• Формулы половинного угла, доказательство, примеры.
• Формулы понижения степени, доказательство, примеры.
• Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
• Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.
• Универсальная тригонометрическая подстановка, формулы, примеры.
• arcsin, arcos, arctg, arcctg: определения, примеры.
• Свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
• Основные формулы с arcsin, arccos, arctg и arcctg.
• Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg, нахождение значений по таблицам.

Числовые и буквенные выражения, их преобразование.

• Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными.
• Виды выражений в школьном курсе алгебры.
• Что такое значение выражения? Определение, примеры.
• Учимся находить значения выражений.
• Числовой коэффициент выражения: определение, примеры нахождения.
• ОДЗ – область допустимых значений, как найти ОДЗ
• Тождество: определение, знак, примеры тождеств.
• Тождественно равные выражения.
• Преобразование выражений, основные тождественные преобразования.
• Раскрытие скобок: правила, примеры, решения.
• Подобные слагаемые, приведение подобных слагаемых.
• Группировка слагаемых, группировка множителей.
• Вынесение за скобки общего множителя, правило, примеры.
• Порядок выполнения действий, правила, примеры.
• Одночлен и его стандартный вид, степень и коэффициент одночлена.
• Действия с одночленами.
• Сложение и вычитание одночленов.
• Умножение одночлена на одночлен: узнаем правило - решим примеры.
• Возведение одночлена в степень – правило и примеры.
• Деление одночлена на одночлен.
• Учимся приводить одночлен к стандартному виду.
• Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов.
• Действия с многочленами.
• Сложение и вычитание многочленов.
• Умножение многочлена на одночлен.
• Умножение многочлена на многочлен.
• Деление многочленов.
• Приведение подобных членов.
• Учимся приводить многочлены к стандартному виду.
• Разложение многочлена на множители.
• Целые выражения и их преобразование в многочлен.
• Формулы сокращенного умножения (ФСУ).
• Схема Горнера.
• Бином Ньютона.
• Преобразование рациональных (алгебраических) дробей.
• Основное свойство алгебраической дроби.
• Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю.
• Сокращение алгебраических дробей.
• Сложение и вычитание алгебраических дробей в деталях.
• Наименьший общий знаменатель (НОЗ) алгебраических дробей.
• Умножение и деление алгебраических дробей: правила, примеры.
• Возведение алгебраической дроби в степень.
• Действия с алгебраическими дробями.
• Простейшие дроби. Разложение на простейшие дроби рациональной дроби.
• Преобразование рациональных выражений.
• Преобразование степенных выражений (выражений со степенями)
• Преобразование выражений с использованием свойств степеней
• Преобразование иррациональных выражений (выражений с корнями)
• Использование свойств корней при преобразовании выражений
• Учимся выносить множитель из-под знака корня
• Как внести множитель под знак корня? Теория, примеры, решения
• Учимся освобождаться (избавляться) от иррациональности в знаменателе дроби
• Переход от корней к степеням и обратно
• Преобразование выражений с логарифмами
• Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов
• Преобразование выражений с дробями
• Преобразование всевозможных дробей: с корнями, логарифмами и т.п.
• Действия с дробями: общий взгляд
• Скобки в математике, виды скобок.
• Что значит оценить значения выражения (функции) и как это сделать?

Решение уравнений.

• Равенство в математике: начальные сведения.
• Числовые равенства, свойства числовых равенств.
• Что такое уравнение и его корни?
• Равносильные уравнения, уравнения-следствия.
• Преобразование уравнений, равносильные преобразования.
• Посторонние корни уравнения, отсеивание посторонних корней.
• Как найти неизвестное слагаемое, уменьшаемое, множитель и т.п.?
• Линейные уравнения, примеры, решения.
• Квадратные уравнения, примеры, решения.
• Теорема Виета, обратная теорема, формулы Виета.
• Решение кубических уравнений.
• Решение уравнений четвертой степени.
• Решение уравнений высших степеней.
• Рациональные уравнения, примеры, решения.
• Решение иррациональных уравнений
• Показательные уравнения. Решение показательных уравнений.
• Логарифмические уравнения
• Уединение радикала (корня), определение, примеры
• Общие методы решения уравнений
• Решение уравнений, сводящихся к числовым равенствам
• Уравнения «дробь равна нулю»: метод решения, примеры
• Решение уравнений через ОДЗ: описание метода, решение примеров
• Метод введения новой переменной: описание метода, примеры решения уравнений
• Метод разложения на множители: описание метода, примеры решения уравнений
• Метод уравнивания показателей
• Метод логарифмирования
• Метод освобождения от внешней функции: от h(f(x))=h(g(x)) к f(x)=g(x)
• Функционально-графический метод решения уравнений
• Графический метод решения уравнений: описание метода, примеры
• Одна функция убывает, другая - возрастает. Метод решения уравнений
• Метод оценки: описание метода, примеры решения уравнений

Решение неравенств

• Неравенство в математике: начальные сведения.
• Числовые неравенства, свойства числовых неравенств.
• Числовые промежутки.
• Что такое неравенства с переменными и их решения?
• Равносильные неравенства, равносильные преобразования неравенств.
• Линейные неравенства, решение линейных неравенств.
• Квадратные неравенства, решение квадратных неравенств.
• Решение квадратных неравенств графическим способом.
• Решение квадратных неравенств методом интервалов.
• Решение квадратных неравенств путем выделения квадрата двучлена.
• Метод интервалов, решение неравенств методом интервалов.
• Рациональные неравенства, примеры, решения

Функции, исследование функций.

• Основные элементарные функции, их свойства и графики.
• Классификация элементарных функций.
• Геометрические преобразования графиков функций.
• Взаимно обратные функции.
• Исследование функции и построение графика.
• Область определения функции – основные сведения.
• Учимся находить область определения функции: теория, примеры, решения.
• Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода.
• Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы.
• Наибольшее и наименьшее значение функции.
• Область значений функции (множество значений функции), необходимые понятия и примеры нахождения.
• Выпуклость функции. Направление выпуклости. Точки перегиба. Условия выпуклости и перегиба.

Общие статьи.

• Метод математической индукции.
• Метод наименьших квадратов (МНК). Линейная аппроксимация.

Предел функции.

• Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.
• Предел функции, основные понятия и определения.
• Основные неопределенности пределов и их раскрытие.
• Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций.
• Предел функции, правило Лопиталя.
• Первый замечательный предел, примеры нахождения, задачи и подробные решения.
• Второй замечательный предел, примеры нахождения, задачи и подробные решения.
• Предел показательно степенной функции, примеры нахождения.
• Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов.

Дифференцирование функции одной переменной.

• Дифференцирование функции, нахождение производной.
• Производная, основные определения и понятия.
• Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной.
• Таблица производных. Доказательство формул.
• Правила дифференцирования, доказательство и примеры.
• Производная сложной функции.
• Производная обратной функции.
• Производная неявно заданной функции.
• Производная параметрически заданной функции.
• Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно степенной функции.

Первообразная и неопределенный интеграл.

• Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
• Таблица первообразных (неопределенных интегралов), непосредственное интегрирование.
• Методы интегрирования.
• Интегрирование подведением под знак дифференциала.
• Интегрирование по частям.
• Интегрирование простейших дробей.
• Использование рекуррентных формул при интегрировании.
• Интегрирование иррациональных функций.
• Интегрирование тригонометрических функций.

Определенный интеграл.

• Определенный интеграл Римана, Дарбу, Ньютона-Лейбница: основные понятия. Виды интегрируемых функций.
• Свойства определенного интеграла.
• Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
• Геометрический смысл определенного интеграла. Выражение площади криволинейной трапеции интегралом.

Приложения определенного интеграла.

• Площадь фигуры: понятие площади, квадрируемые фигуры.
• Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)
• Вычисление площади фигуры в полярных координатах.
• Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.

Приближенное вычисление определенных интегралов.

• Метод прямоугольников.
• Метод трапеций.
• Метод Симпсона (парабол).

Числовые ряды.

• Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения.

Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве.

• Векторы на плоскости и в пространстве - основные определения.
• Операции над векторами и их свойства.
• Координатный луч, координатная (числовая) прямая.
• Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.
• Координаты вектора в декартовой системе координат.
• Нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца.
• Операции над векторами в координатах.
• Геометрическая фигура угол - понятие угла, измерение углов, обозначения и примеры.
• Нахождение угла между векторами, примеры и решения.
• Нахождение длины вектора, примеры и решения.
• Расстояние от точки до точки, формулы, примеры, решения.
• Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения.
• Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.
• Скалярное произведение векторов, его свойства, примеры вычисления.
• Векторное произведение - определения, свойства, формулы, примеры и решения.
• Смешанное произведение векторов, его свойства, примеры и решения.
• Условие коллинеарности векторов.
• Условие перпендикулярности векторов.
• Компланарные векторы, исследование системы векторов на компланарность.
• Проекция вектора на ось, числовая проекция вектора.

n-мерные векторы.

• n-мерные векторы, операции над ними.
• Линейная зависимость векторов, свойства линейной зависимости и независимости, примеры.
• Размерность и базис векторного пространства, разложение вектора по базису, примеры.

Матрицы.

• Операции над матрицами, свойства операций.
• Вычисление определителя матрицы, примеры, решения.
• Нахождение обратной матрицы.
• Ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения.

Решение систем линейных алгебраических уравнений.

• Системы уравнений – определение, обозначение, виды систем.
• Равносильные системы уравнений.
• Системы неравенств – определение, обозначение, виды.
• Равносильные системы неравенств.
• Совокупности – основные сведения.
• Равносильные совокупности, равносильные преобразования совокупностей.
• Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.
• Метод Крамера.
• Матричный метод решения систем линейных уравнений.
• Метод Гаусса: описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.

Прямая и плоскость.

• Прямая на плоскости – необходимые сведения.
• Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой.
• Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой.
• Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости.
• Общее уравнение прямой - теория, примеры, решение задач.
• Каноническое уравнение прямой на плоскости - теория, примеры, решение задач.
• Уравнение прямой в отрезках - описание, примеры, решение задач.
• Уравнение прямой с угловым коэффициентом - теория, примеры, решение задач.
• Параметрические уравнения прямой на плоскости - описание, примеры, решение задач.
• Нормальное уравнение прямой - описание, примеры, решение задач.
• Плоскость в пространстве – необходимые сведения.
• Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости.
• Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости.
• Общее уравнение плоскости - описание, примеры, решение задач.
• Уравнение плоскости в отрезках - описание, примеры, решение задач.
• Нормальное уравнение плоскости - описание, примеры, решение задач.
• Прямая в пространстве – необходимые сведения.
• Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве.
• Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.
• Параметрические уравнения прямой в пространстве - описание, примеры, решение задач.
• Канонические уравнения прямой в пространстве - теория, примеры, решение задач.
• Угол между пересекающимися прямыми – определение, примеры нахождения.
• Угол между скрещивающимися прямыми – определение, примеры нахождения.
• Угол между прямой и плоскостью – определение, примеры нахождения.
• Угол между двумя пересекающимися плоскостями – определение, примеры нахождения.
• Координаты точки пересечения двух прямых - примеры нахождения.
• Координаты точки пересечения прямой и плоскости - примеры нахождения.
• Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых.
• Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых.
• Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости.
• Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости.
• Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей.
• Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей.
• Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
• Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.
• Уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой.
• Уравнение прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости.
• Уравнение прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно двум заданным пересекающимся плоскостям.
• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
• Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и заданную прямую.
• Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся или параллельные прямые.
• Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
• Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.
• Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.
• Расстояние от точки до прямой.
• Расстояние от точки до плоскости.
• Расстояние между параллельными прямыми.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми.
• Расстояние между параллельными прямой и плоскостью.
• Расстояние между параллельными плоскостями.
• Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
• Пучок плоскостей, уравнение пучка плоскостей.
• Связка плоскостей, уравнение связки плоскостей.
• Проекция точки на плоскость.
• Проекция точки на прямую.

Дифференциальные уравнения.

• Виды дифференциальных уравнений, методы решения.
• Определения и понятия теории дифференциальных уравнений.
• Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.
• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
• Дифференциальное уравнение Бернулли.
• Уравнения в полных дифференциалах.
• Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
• Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
• Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
• Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
• Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
• Системы дифференциальных уравнений.