Ряды, исследование рядов на сходимость Помощь в написании работ

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения.


В этой статье собрана и структурирована информация, необходимая для решения практически любого примера по теме числовые ряды, от нахождения суммы ряда до исследования его на сходимость.

Обзор статьи.

Начнем с определений знакоположительного, знакопеременного ряда и понятия сходимости. Далее рассмотрим стандартные ряды, такие как гармонический ряд, обобщенно гармонический ряд, вспомним формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. После этого перейдем к свойствам сходящихся рядов, остановимся на необходимом условии сходимости ряда и озвучим достаточные признаки сходимости ряда. Теорию будем разбавлять решением характерных примеров с подробными пояснениями.


Основные определения и понятия.

Пусть мы имеем числовую последовательность формула, где формула.

Приведем пример числовой последовательности: формула.

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида формула.

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5: формула.

формула называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид формула.

Частичная сумма числового ряда – это сумма вида формула, где n – некоторое натуральное число. формула называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

К примеру, четвертая частичная сумма ряда формула есть формула.

Частичные суммы формула образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда.

Для нашего ряда n –ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии формула, то есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм: формула.

Числовой ряд формула называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм формула. Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд формула называется расходящимся.

Суммой сходящегося числового ряда формула называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, формула.

В нашем примере формула, следовательно, ряд формула сходится, причем его сумма равна шестнадцати третьим: формула.

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: формула. n–ая частичная сумма определяется выражением формула, а предел частичных сумм бесконечен: формула.

Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида формула. В этом случае n–ая частичная сумма может быть вычислена как формула. Предел частичных сумм бесконечен формула.

Сумма вида формула называется гармоническим числовым рядом.

Сумма вида формула, где s – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом.

Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.

  1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД формула ЯВЛЯЕТСЯ РАСХОДЯЩИМСЯ.

    Докажем расходимость гармонического ряда.

    Предположим, что ряд сходится. Тогда существует конечный предел его частичных сумм. В этом случае можно записать формула и формула, что приводит нас к равенству формула.

    С другой стороны,
    формула

    Не вызывают сомнения следующие неравенства формула. Таким образом, формула. Полученное неравенство формула указывает нам на то, что равенство формула не может быть достигнуто, что противоречит нашему предположению о сходимости гармонического ряда.

    Вывод: гармонический ряд расходится.

  2. СУММА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ВИДА формула СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ q ЯВЛЯЕТСЯ СХОДЯЩИМСЯ ЧИСЛОВЫМ РЯДОМ, ЕСЛИ формула, И РАСХОДЯЩИМСЯ РЯДОМ ПРИ формула.

    Докажем это.

    Мы знаем, что сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле формула.

    При формула справедливо
    формула
    что указывает на сходимость числового ряда.

    При q = 1 имеем числовой ряд формула. Его частичные суммы находятся как формула, а предел частичных сумм бесконечен формула, что указывает на расходимость ряда в этом случае.

    Если q = -1, то числовой ряд примет вид формула. Частичные суммы принимают значение формула для нечетных n, и формула для четных n. Из этого можно сделать вывод, что предел частичных сумм не существует и ряд расходится.

    При формула справедливо
    формула
    что указывает на расходимость числового ряда.

  3. ОБОБЩЕННО ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД формула СХОДИТСЯ ПРИ s > 1 И РАСХОДИТСЯ ПРИ формула.

    Доказательство.

    Для s = 1 получим гармонический ряд формула, а выше мы установили его расходимость.

    При s < 1 справедливо неравенство формула для всех натуральных k. В силу расходимости гармонического ряда формула можно утверждать, что последовательность его частичных сумм неограниченна (так как не существует конечного предела). Тогда последовательность частичных сумм числового ряда формула тем более неограниченна (каждый член этого ряда больше соответствующего члена гармонического ряда), следовательно, обобщенно гармонический ряд расходится при s < 1.

    Осталось доказать сходимость ряда формула при s > 1.

    Запишем разность формула:
    формула

    Очевидно, что формула, тогда
    формула

    Распишем полученное неравенство для n = 2, 4, 8, 16, …
    формула

    Используя эти результаты, с исходным числовым рядом можно провести следующие действия:
    формула

    Выражение формула представляет собой сумму геометрической прогрессии, знаменатель которой равен формула. Так как мы рассматриваем случай при s > 1, то формула. Поэтому формула. Таким образом, последовательность частичных сумм обобщенно гармонического ряда при s > 1 является возрастающей и в тоже время ограниченной сверху значением формула, следовательно, она имеет предел, что указывает на сходимость ряда формула. Доказательство завершено.

Числовой ряд формула называется знакоположительным, если все его члены положительны, то есть, формула.

Числовой ряд формула называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде формула или формула, где формула.

Числовой ряд формула называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Знакочередующийся числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Ряды
формула
являются знакоположительным, знакочередующимся и знакопеременным соответственно.

Для знакопеременного ряда существует понятие абсолютной и условной сходимости.

Знакопеременный ряд формула называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов, то есть, сходится знакоположительный числовой ряд формула.

К примеру, числовые ряды формула и формула абсолютно сходятся, так как сходится ряд формула, являющийся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Знакопеременный ряд формула называется условно сходящимся, если ряд формула расходится, а ряд формула сходится.

В качестве примера условно сходящегося числового ряда можно привести ряд формула. Числовой ряд формула, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходящийся, так как является гармоническим. В то же время, исходный ряд является сходящимся, что легко устанавливается с помощью признака Лейбница. Таким образом, числовой знакочередующийся ряд формула условно сходящийся.

Свойства сходящихся числовых рядов.


  1. Если сходится числовой ряд формула, то сходящимся будет и ряд формула. Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду формула добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.
  2. Если сходится числовой ряд формула и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд формула, причем формула, где A – произвольная постоянная.
  3. Если сходятся числовые ряды формула и формула, их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды формула и формула, причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда формула.

Решение.

Запишем ряд в другом виде формула. Числовой ряд формула сходится, так как обобщенно гармонический ряд формула является сходящимся при s > 1, а в силу второго свойства сходящихся числовых рядов будет сходится и ряд с числовым коэффициентом формула.

Пример.

Сходится ли числовой ряд формула.

Решение.

Преобразуем исходный ряд: формула. Таким образом, мы получили сумму двух числовых рядов формула и формула, причем каждый из них сходится (смотрите предыдущий пример). Следовательно, в силу третьего свойства сходящихся числовых рядов, сходится и исходный ряд.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда формула и вычислите его сумму.

Решение.

Данный числовой ряд можно представить в виде разности двух рядов:
формула

Каждый из этих рядов представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно, является сходящимся. Третье свойство сходящихся рядов позволяет утверждать, что исходный числовой ряд сходится. Вычислим его сумму.

Первый член ряда формула есть единица, а знаменатель соответствующей геометрической прогрессии равен 0.5, следовательно, формула.

Первым членом ряда формула является 3, а знаменатель соответствующей бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 1/3, поэтому формула.

Воспользуемся полученными результатами для нахождения суммы исходного числового ряда:
формула

Необходимое условие сходимости ряда.

Если числовой ряд формула сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: формула.

При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если формула, то ряд расходится.

С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства формула не говорит о сходимости числового ряда формула. К примеру, для гармонического ряда формула необходимое условие сходимости выполняется формула, а ряд расходится.

Пример.

Исследовать числовой ряд формула на сходимость.

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости числового ряда:
формула

Предел n-ого члена числового ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.

При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно приходится сталкиваться с вычислением пределов, так что рекомендуем обращаться к этому разделу при затруднениях.

Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда.

Для сходимости знакоположительного числового ряда формула необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна.

Первый, второй и третий признаки сравнения.

Первый признак сравнения рядов.

Пусть формула и формула - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство формула для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда формула следует сходимость формула, а из расходимости ряда формула следует расходимость формула.

Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть формула, разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом формула, то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Установить сходимость или расходимость ряда формула.

Решение.

Так как предел общего члена ряда равен нулю формула, то необходимое условие сходимости ряда выполнено.

Несложно заметить, что справедливо неравенство формула для всех натуральных k. Мы знаем, что гармонический ряд формула расходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.

Пример.

Исследуйте числовой ряд формула на сходимость.

Решение.

Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как формула. Очевидно выполнение неравенства формула для любого натурального значения k. Ряд формула сходится, так как обобщенно гармонический ряд формула является сходящимся для s > 1. Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.

Пример.

Определите сходимость или расходимость числового ряда формула.

Решение.

формула, следовательно, необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд формула, а чтобы определиться с s, внимательно исследуем числовую последовательность формула. Члены числовой последовательности формула возрастают к бесконечности. Таким образом, начиная с некоторого номера N (а именно, с N = 1619), члены этой последовательности будут больше 2. Начиная с этого номера N, справедливо неравенство формула. Числовой ряд формула сходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося ряда формула отбрасыванием первых N – 1 члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд формула, а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд формула.

Второй признак сравнения.

Пусть формула и формула - знакоположительные числовые ряды. Если формула, то из сходимости ряда формула следует сходимость формула. Если формула, то из расходимости числового ряда формула следует расходимость формула.

Следствие.

Если формула и формула, то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.

Исследуем ряд формула на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда формула возьмем сходящийся ряд формула. Найдем предел отношения k-ых членов числовых рядов:
формула

Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда формула следует сходимость исходного ряда.

Пример.

Исследовать на сходимость числовой ряд формула.

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости ряда формула. Условие выполнено. Для применения второго признака сравнения возьмем гармонический ряд формула. Найдем предел отношения k-ых членов:
формула

Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда по второму признаку сравнения.

Для информации приведем третий признак сравнения рядов.

Третий признак сравнения.

Пусть формула и формула - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие формула, то из сходимости ряда формула следует сходимость формула, а из расходимости ряда формула следует расходимость формула.

Признак Даламбера.

Пусть формула - знакоположительный числовой ряд. Если формула, то числовой ряд сходится, если формула, то ряд расходится.

Замечание.

Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если формула, то ряд сходится, если формула, то ряд расходится.

Если формула, то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Пример.

Исследуйте числовой ряд формула на сходимость по признаку Даламбера.

Решение.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда, предел вычислим по правилу Лопиталя:
формула

Условие выполнено.

Воспользуемся признаком Даламбера:
формула

Таким образом, ряд сходится.

Пример.

Проверьте расходимость числового ряда формула.

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера для исследования сходимости числового ряда:
формула

Следовательно, ряд расходится. В последнем переходе мы использовали второй замечательный предел.

Радикальный признак Коши.

Пусть формула - знакоположительный числовой ряд. Если формула, то числовой ряд сходится, если формула, то ряд расходится.

Замечание.

Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если формула, то ряд сходится, если формула, то ряд расходится.

Если формула, то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным является случай, когда общий член числового ряда представляет собой показательно степенное выражение. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Исследовать знакоположительный числовой ряд формула на сходимость с помощью радикального признака Коши.

Решение.

Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как формула. По радикальному признаку Коши получаем формула.

Следовательно, ряд сходится.

Пример.

Сходится ли числовой ряд формула.

Решение.

Воспользуемся радикальным признаком Коши формула, следовательно, числовой ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Пусть формула - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции формула. Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале формула, где формула). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла формула сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции y = f(x) на интервале формула Вам может пригодится теория из раздела возрастание и убывание функции.

Пример.

Исследуйте числовой ряд с положительными членами формула на сходимость.

Решение.

Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как формула. Рассмотрим функцию формула. Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале формула. Непрерывность и положительность этой функции не вызывает сомнения, а на убывании остановимся чуть подробнее. Найдем производную: формула. Она отрицательная на промежутке формула, следовательно, функция убывает на этом интервале.

Таким образом, функция формула удовлетворяет всем условиям интегрального признака Коши. Воспользуемся им:
формула

То есть, несобственный интеграл расходится, следовательно, расходящимся является исходный числовой ряд.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда формула.

Решение.

Так как формула, то необходимое условие сходимости числового ряда выполнено.

Начиная с k = 4, справедливо неравенство формула. Таким образом, если доказать сходимость ряда формула, то в силу первого признака сравнения будет сходиться ряд формула, тогда из первого свойства сходимости рядов последует сходимость исходного числового ряда.

Итак, осталось доказать сходимость числового ряда формула.

Так как функция формула положительная, непрерывная и убывающая на интервале формула (проверить эти факты оставляем Вам), то можно воспользоваться интегральным признаком Коши:
формула

Таким образом, несобственный интеграл формула сходится, следовательно, сходится ряд формула. Этим доказана сходимость исходного числового ряда.

Признак Раабе.

Пусть формула - знакоположительный числовой ряд. Если формула, то числовой ряд расходится, если формула, то ряд сходится.

Признак Раабе обычно применяется тогда, когда рассмотренные выше достаточные признаки сходимости числовых рядов не приводят к результату.

Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость.

Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд формула на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд формула, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд формула сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Пример.

Докажите, что знакопеременный числовой ряд формула абсолютно сходится.

Решение.

Соответствующих знакоположительный ряд будет иметь вид формула. Для него выполняется необходимое условие сходимости ряда, так как формула. Возьмем сходящийся знакоположительный ряд формула и воспользуемся вторым признаком сравнения: формула. Следовательно, ряд формула сходящийся, поэтому, исходный ряд сходится абсолютно.

Расходимость знакопеременных рядов.

Если ряд формула расходится, то соответствующий знакопеременный ряд формула может, либо расходится, либо сходится условно.

Только признак Даламбера и радикальный признак Коши позволяют сделать вывод о расходимости знакопеременного ряда формула по расходимости ряда из модулей формула. Ряд формула также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если формула.

Пример.

Проверьте расходимость знакопеременного числового ряда формула.

Решение.

Модуль k-ого члена имеет вид формула. Исследуем ряд формула на сходимость по признаку Даламбера: формула. Следовательно, ряд формула расходится и можно утверждать, что исходный знакопеременный числовой ряд тоже расходится.

Пример.

Сходится ли знакочередующийся числовой ряд формула.

Решение.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда: формула.

Условие не выполняется, следовательно, ряд формула расходится. Предел был вычислен по правилу Лопиталя.

Осталось разобраться с условной сходимостью знакочередующихся рядов.

Достаточные признаки условной сходимости числового ряда.

Признак Лейбница.

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают формула и предел модуля общего члена ряда равен нулю при формула, то ряд формула сходится.

Пример.

Определите характер сходимости знакочередующегося числового ряда формула.

Решение.

Ряд из абсолютных величин членов имеет вид формула. Для него выполняется необходимое условие сходимости формула. Возьмем гармонический ряд формула и воспользуемся вторым признаком сравнения:
формула

Таким образом, ряд из модулей формула - расходящийся.

В свою очередь, знакочередующийся ряд формула сходится, так как выполняются условия признака Лейбница: последовательность формула монотонно убывает и формула.

Следовательно, исходный ряд условно сходящийся.

Признак Абеля-Дирихле.

Числовой ряд формула сходится условно, если последовательность формула является невозрастающей и бесконечно малой, а последовательность частичных сумм числового ряда формула ограничена.

Пример.

Исследуйте числовой ряд формула на сходимость.

Решение.

Представим числовой ряд в виде
формула
где формула - невозрастающая и бесконечно малая, а последовательность формула имеет ограниченную последовательность частичных сумм формула. Следовательно, условия признака Абеля-Дирихле выполнены и ряд условно сходится.

Признак Лейбница является частным случаем признака Абеля-Дирихле при формула или формула.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+