Скалярное произведение векторов, его свойства, примеры вычисления.
Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число, важное место занимает операция скалярного умножения двух векторов. В этой статье мы дадим определение скалярного произведения векторов на плоскости и в трехмерном пространстве, перечислим его свойства и подробно разберем решения характерных примеров, в которых требуется вычислить скалярное произведение.
Определение скалярного произведения векторов.
Определение.
Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и будем обозначать как . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .
Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .
Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению .
Определение.
Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.
Формулу для вычисления скалярного произведения можно записать в виде , где - числовая проекция вектора на направление вектора , а - числовая проекция вектора на направление вектора .
Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.
Определение.
Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .
Это определение эквивалентно первому.
Скалярное произведение в координатах.
Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.
Определение.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .
То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
,
а для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
.
Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.
Сначала докажем равенства для векторов на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы и . Тогда (при необходимости обращайтесь к статьям операции над векторами и их свойства и операции над векторами в координатах).
Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов мы можем записать . Так как , то последнее равенство можно переписать как , а по первому определению скалярного произведения имеем , откуда .
Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств для векторов , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве .
Свойства скалярного произведения.
Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:
- свойство коммутативности скалярного произведения ;
- свойство дистрибутивности или ;
- сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;
- скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.
Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.
Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По определению и . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо и , тогда . Следовательно, , что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.
Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть, и , откуда следует
Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.
Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул
- ;
- ;
- или ;
- .
Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.
Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.
Пример.
Вычислите скалярное произведение двух векторов и , если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
Решение.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: .
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной системе координат заданы два вектора и , найдите их скалярное произведение.
Решение.
В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:
Ответ:
.
Пример.
Вычислите скалярное произведение векторов и , если известны координаты трех точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости .
Решение.
Найдем координаты векторов по координатам точек их начала и конца:
Теперь можно использовать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах:
Ответ:
.
Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению.
Пример.
Вычислите скалярное произведение векторов и , если векторы и перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.
Решение.
. По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем . Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:
В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид
.
Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем . Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:
Ответ:
.
Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.
Пример.
Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а проекция вектора на направление вектора имеет координаты .
Решение.
Векторы и противоположно направленные, так как , следовательно, числовая проекция вектора на направление вектора будет равна длине вектора со знаком минус: .
Вычисляем скалярное произведение .
Ответ:
.
Также встречается масса обратных задач, когда скалярное произведение векторов известно, а требуется найти, например, длину одного из векторов, угол между векторами, числовую проекцию, либо что-нибудь еще.
Пример.
При каком значении скалярное произведение векторов и равно -1.
Решение.
Так как скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат, то . С другой стороны по условию . Тогда искомое значение находим из уравнения , откуда .
Ответ:
.
Физический смысл скалярного произведения векторов.
В механике можно отметить следующее приложение скалярного произведения векторов.
Известно, что работа A постоянной силы по перемещению тела из точки M в точку N пространства находится как произведение длин векторов , и косинуса угла между ними, то есть, работа равна скалярному произведению векторов силы и перемещения: .
Пример.
Материальная точка переместилась на расстояние 3 метра под воздействием постоянной силы в 5 ньютонов, направленной под углом 45 градусов по отношению к оси перемещения. Найдите работу этой силы.
Решение.
Работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения . Из условия нам известно .Таким образом, .
Ответ:
.
Пример.
При перемещении материальной точки из точки пространства в под действием силы была совершена работа A = 13Дж. Найдите длину перемещения материальной точки.
Решение.
Вектор имеет координаты . Работа находится как скалярное произведение векторов и , то есть, . Так как по условию А = 13, то , откуда , следовательно, . Находим длину перемещения материальной точки как корень квадратный из скалярного квадрата вектора перемещения :
Ответ:
.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
Некогда разбираться?