Математика на cleverstudents.ru

Корень, его свойства, извлечение корня

Извлечение корней: способы, примеры, решения.

Эта статья продолжает тему корень из числа. Здесь мы разберемся с извлечением корня. Сначала определим, что называют извлечением корня, и установим, когда корень извлекается. Дальше изучим принципы, на которых основано нахождение значения корня, после чего на примерах рассмотрим основные способы извлечения корней из натуральных чисел, а затем и из дробных чисел.

Что означает «извлечение корня»?

Введем понятие извлечения корня.

Итак, извлечение корня n-ой степени из числа a – это нахождение числа b, n-ая степень которого равна a. Когда такое число b найдено, то можно утверждать, что мы извлекли корень.

Заметим, что выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» одинаково употребимы.

Когда корень извлекается?

Говорят, что корень n-ой степени из числа a извлекается точно, когда подкоренное число a возможно представить в виде n-ой степени некоторого числа b. Например, из числа 8 извлекается кубический корень, так как число 8 можно представить как куб числа 2. Аналогично, из десятичной дроби 1,21 извлекается квадратный корень, так как 1,21=(1,1)².

Если же подкоренное число a не представляется в виде n-ой степени некоторого числа b, то говорят, что корень n-ой степени из числа a не извлекается. В этом случае либо записанное выражение со знаком корня не имеет смысла на множестве действительных чисел (например, или ), либо записанное выражение имеет смысл, но может быть получено лишь приближенное значение такого корня с точностью до любого десятичного разряда. В качестве примера приведем . Квадратный корень из числа 2 не извлекается, однако может быть найдено его приближенное значение с точностью до любого десятичного разряда, например, (способ нахождения значений подобных корней мы рассмотрим в последнем пункте этой статьи).

Способы и примеры извлечения корней

Пришло время разобрать способы извлечения корней. Они базируются на свойствах корней, в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п. Ознакомиться…

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители. Перейти к изучению этого способа…

Отдельно стоит остановиться на извлечении корня из отрицательного числа, что возможно для корней с нечетными показателями.

Дальше мы разберем извлечение корня из дробного числа, в частности, из обыкновенной дроби, десятичной дроби и смешанного числа. Перейти к этому разделу…

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня. Изучить…

Приступим.

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99. Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83. Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99. На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889, которое является квадратом числа 83.

Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Допустим, нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа a, при этом число a содержится в таблице n-ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=bⁿ. Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n-ой степени.

В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683. Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27, следовательно, .

Понятно, что таблицы n-ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем: после разложения числа на простые множители его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Пусть из натурального числа a извлекается корень n-ой степени, и его значение равно b. В этом случае верно равенство a=bⁿ. Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p₁, p₂, …, p_m в виде p₁·p₂·…·p_m, а подкоренное число a в этом случае представляется как (p₁·p₂·…·p_m)ⁿ. Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p₁·p₂·…·p_m)ⁿ, что дает возможность вычислить значение корня как .

Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p₁·p₂·…·p_m)ⁿ, то корень n-ой степени из такого числа a нацело не извлекается.

Разберемся с этим при решении примеров.

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Извлечение корней из дробных чисел

Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде обыкновенной дроби как p/q. Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби: корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Разберем пример извлечения корня из дроби.

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Порязрядное нахождение значения корня

В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n-ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5. Имеем 0²=0<5, 10²=100>5, значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2, на втором – 2,2, на третьем – 2,23, и так далее 2,236067977…. Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9. При этом параллельно вычисляются n-ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9.

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9, вычисляя соответственно 0², 1², …, 9² до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5. Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2²<5, а 2³>5). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9, сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5:

Так как 2,2²<5, а 2,3²>5, то значение разряда десятых равно 2. Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23. И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, ….

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186. Имеем 0³=0<2 151,186, 10³=1 000<2151,186, 100³=1 000 000>2 151,186, таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

Определим его значение.

Так как 10³<2 151,186, а 20³>2 151,186, то значение разряда десятков равно 1. Переходим к единицам.

Таким образом, значение разряда единиц равно 2. Переходим к десятым.

Так как даже 12,9³ меньше подкоренного числа 2 151,186, то значение разряда десятых равно 9. Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.