Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры.
В этой статье мы разберем сократимые и несократимые дроби. Здесь мы дадим определения и приведем примеры сократимых и несократимых дробей, а также рассмотрим способ, позволяющий выяснить, является ли данная дробь сократимой или нет.
Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры
Все обыкновенные дроби подразделяются на сократимые дроби и несократимые дроби. Такое разделение дробей связано с наличием или отсутствием отличных от единицы положительных общих делителей их числителя и знаменателя.
Дадим определения сократимых и несократимых дробей, чтобы все стало понятно.
Определение.
Сократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют положительный общий делитель, отличный от единицы.
Определение.
Несократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют единственный общий положительный делитель – единицу, то есть, являются взаимно простыми числами.
Приведем примеры сократимых дробей. Обыкновенная дробь 45/15 – сократимая. Действительно, числитель 45 и знаменатель 15 очевидно делятся на 5 (смотрите признак делимости на 5), то есть, имеют положительный общий делитель 5, отличный от единицы. В качестве других примеров сократимых обыкновенных дробей можно привести 3/66 и 11/11. Действительно, несложно увидеть, что числа 3 и 66 имеют не равный единице положительный общий делитель 3 (можно воспользоваться признаком делимости на 3), а числа 11 и 11 очевидно имеют общий делитель 11.
А вот дроби 2/7, 13/6, 450/49, 16/35 можно рассматривать как примеры несократимых дробей, так как числитель и знаменатель каждой из этих дробей есть взаимно простые числа.
Сократима ли данная дробь?
Определения сократимой и несократимой дроби, приведенные в предыдущем пункте, не позволяют в общем случае с первого взгляда на дробь ответить на вопрос: «Данная дробь сократимая или несократимая»?
Несомненно, в самых простых случаях признаки делимости позволяют сразу увидеть положительный общий делитель числителя и знаменателя, отличный от единицы, откуда можно делать вывод о сократимости данной дроби.
Например, из признака делимости на 10 сразу видно, что обыкновенная дробь 460/5 200 сократима, так как ее числитель и знаменатель имеют общий делитель 10. Аналогично, признак делимости на 2 позволяет утверждать, что числитель и знаменатель дроби 384/528 делится на 2, следовательно, сама дробь является сократимой.
Но в более сложных случаях признаки делимости нам уже не помогут выяснить, является ли данная дробь сократимой или несократимой. К примеру, попробуйте выяснить с помощью известных Вам признаков делимости, сократима ли дробь 288 329/342 439. В таких случаях придется использовать общий метод проверки дроби на сократимость.
Из определений сократимой и несократимой дроби следует правило проверки любой обыкновенной дроби на сократимость: вычисляем наибольший общий делитель числителя и знаменателя данной дроби, и если НОД равен 1, то дробь несократима, если НОД отличен от 1, то дробь сократима.
Разберем применение этого правила при решении примера.
Пример.
Сократима ли обыкновенная дробь 495/539?
Решение.
Выясним, являются ли числитель 495 и знаменатель 539 взаимно простыми числами, для чего вычислим их наибольший общий делитель и проверим, равен ли он единице. Вычислим НОД по алгоритму Евклида: 539=495·1+44, 495=44·11+11, 44=11·4, таким образом, НОД(495, 539)=11. Следовательно, числитель и знаменатель исходной дроби не являются взаимно простыми числами, поэтому 495/539 – сократимая дробь.
Ответ:
да.
В заключение заметим, если в результате каких-либо вычислений получилась дробь, то ее принято записывать в несократимом виде. Иными словами, если получилась сократимая дробь, то нужно провести сокращение дроби.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.