Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Свойства вычитания натуральных чисел.

Отталкиваясь от общего представления о вычитании натуральных чисел, можно выделить ряд результатов, неотделимых от этого действия. Эти результаты, присущие вычитанию натуральных чисел, называются свойствами вычитания натуральных чисел. В этой статье мы подробно разберем основные свойства вычитания, приведем примеры и дадим необходимые разъяснения.

Свойство вычитания двух равных натуральных чисел.

Начнем со свойства вычитания двух равных натуральных чисел (при необходимости повторите информацию из раздела равные натуральные числа). Оно формулируется так: разность двух равных натуральных чисел равна нулю.

Запишем это свойство с помощью букв (при необходимости смотрите материал из раздела буквенные выражения): a−a=0, где a – любое натуральное число.

Приведем пример, поясняющий свойство вычитания двух равных натуральных чисел. Пусть у нас имеется 15 предметов, и мы решили отдать все эти 15 предметов. После этого действия у нас не останется ни одного предмета. Другими словами, у нас останется 0 предметов (напомним, что число нуль несет в себе смысл отсутствия чего-либо). То есть, 15−15=0.

Вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством.

Из информации предыдущего пункта понятно, что для двух равных натуральных чисел справедливо переместительное свойство вычитания. То есть, если уменьшаемое равно вычитаемому, то их можно поменять местами, при этом разность также будет равна нулю.

В остальных случаях (когда уменьшаемое не равно вычитаемому) вычитание натуральных чисел не обладает переместительным свойством. Другими словами, уменьшаемое и вычитаемое нельзя поменять местами. То есть, следует строго различать число, из которого вычитают, и число, которое вычитают. Поясним это.

Если уменьшаемое больше, чем вычитаемое, и мы поменяем их местами, то нам придется вычитать из меньшего натурального числа большее натуральное число. А эти случаи противоречат смыслу вычитания натуральных чисел.

Итак, в общем случае вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством. Запишем это утверждение с помощью букв. Если a и b неравные натуральные числа, то a−b≠b−a. Например, 45−21≠21−45.

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Следующее свойство связано с вычитанием из натурального числа суммы двух чисел. Давайте рассмотрим пример, который даст нам понимание этого свойства.

Представим, что у нас в руках находится 7 монет. Мы сначала решаем сохранить 2 монеты, но, подумав, что этого будет мало, решаем сохранить еще одну монету. На основании смысла сложения натуральных чисел можно утверждать, что в этом случае мы приняли решение сохранить количество монет, которое определяется суммой 2+1. Итак, берем две монеты, добавляем к ним еще одну монету и помещаем их в копилку. При этом количество монет, оставшихся у нас в руках, определяется разностью 7−(2+1).

А теперь представим, что у нас есть 7 монет, и мы помещаем в копилку 2 монеты, а после этого - еще одну монету. Математически этот процесс описывается следующим числовым выражением: (7−2)−1.

Если пересчитать монеты, которые остаются в руках, то и в первом и во втором случаях мы имеем 4 монеты. То есть, 7−(2+1)=4 и (7−2)−1=4, следовательно, 7−(2+1)=(7−2)−1.

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел - это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое.

Напомним, что мы придали смысл вычитанию натуральных чисел лишь для случая, когда уменьшаемое больше, чем вычитаемое, или равно ему. Поэтому мы можем вычесть из данного натурального числа данную сумму лишь тогда, когда эта сумма не больше, чем уменьшаемое натуральное число. Заметим, что при выполнении этого условия, каждое из слагаемых не превосходит натурального числа, из которого вычитается сумма.

С помощью букв свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа записывается в виде равенства a−(b+c)=(a−b)−c, где a, b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a>b+c или a=b+c.

Рассмотренное свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел, позволяют выполнять вычитание суммы трех и большего количества чисел из данного натурального числа.

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Переходим к следующему свойству, которое связано с вычитанием данного натурального числа из данной суммы двух натуральных чисел. Рассмотрим примеры, которые помогут нам «увидеть» это свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Пусть у нас в первом кармане находятся 3 конфеты, а во втором – 5 конфет, и пусть нам нужно отдать 2 конфеты. Мы это можем сделать разными способами. Разберем их по очереди.

Во-первых, мы можем сложить все конфеты в один карман, после чего оттуда достать 2 конфеты и отдать их. Опишем эти действия математически. После того, как мы сложим конфеты в один карман, их количество будет определяться суммой 3+5. Теперь из общего количества конфет мы отдадим 2 конфеты, при этом оставшееся у нас количество конфет будет определяться следующей разностью (3+5)−2.

Во-вторых, мы можем отдать 2 конфеты, достав их из первого кармана. В этом случае разность 3−2 определяет оставшееся количество конфет в первом кармане, а общее количество оставшихся у нас конфет будет определяться суммой (3−2)+5.

В-третьих, мы можем отдать 2 конфеты из второго кармана. Тогда разность 5−2 будет соответствовать количеству оставшихся конфет во втором кармане, а общее оставшееся количество конфет определит сумма 3+(5−2).

Ясно, что во всех случаях у нас останется одинаковое количество конфет. Следовательно, справедливы равенства (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2).

Если бы нам пришлось отдать не 2, а 4 конфеты, то мы могли бы это сделать двумя способами. Во-первых, отдать 4 конфеты, предварительно сложив их все в один карман. В этом случае оставшееся количество конфет определяется выражением вида (3+5)−4. Во-вторых, мы могли отдать 4 конфеты из второго кармана. В этом случае общее количество конфет дает следующая сумма 3+(5−4). Понятно, что и в первом и во втором случае у нас останется одинаковое количество конфет, следовательно, справедливо равенство (3+5)−4=3+(5−4).

Проанализировав результаты, полученные при решении предыдущих примеров, мы можем сформулировать свойство вычитания данного натурального числа из данной суммы двух чисел. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое. Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.

Запишем свойство вычитания натурального числа из суммы с помощью букв. Пусть a, b и c – некоторые натуральные числа. Тогда при условии, что a больше или равно c, справедливо равенство (a+b)−c=(a−c)+b, а при выполнении условия, что b больше или равно c, справедливо равенство (a+b)−c=a+(b−c). Если и a и b больше или равно c, то справедливы оба последних равенства, и их можно записать следующим образом: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c).

По аналогии можно сформулировать свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел. В этом случае данное натуральное число можно вычесть из любого слагаемого (конечно, если оно больше или равно вычитаемому числу), и к полученной разности прибавить оставшиеся слагаемые.

Чтобы наглядно представить озвученное свойство, можно представить, что у нас много карманов, и в них находятся конфеты. Пусть нам нужно отдать 1 конфету. Понятно, что мы можем отдать 1 конфету из любого кармана. При этом не важно, из какого именно кармана мы ее отдадим, так как это не влияет на то количество конфет, которое у нас останется.

Приведем пример. Пусть a, b, c и d – некоторые натуральные числа. Если a>d или a=d, то разность (a+b+c)−d равна сумме (a−d)+b+c. Если b>d или b=d, то (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Если же c>d или c=d, то справедливо равенство (a+b+c)−d=a+b+(c−d).

Следует отметить, что свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел не является новым свойством, так как оно следует из свойств сложения натуральных чисел и свойства вычитания числа из суммы двух чисел.