Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Свойства деления натуральных чисел.

Общее представление о делении натуральных чисел позволяет отметить результаты, неотделимые от этого действия. Эти результаты, присущие делению натуральных чисел, называются свойствами деления натуральных чисел. В этой статье мы подробно разберем основные свойства деления, приведем примеры и дадим необходимые разъяснения.

Свойство деления двух равных натуральных чисел.

Для того, чтобы сформулировать свойство деления натурального числа на равное ему число, вспомним смысл деления натуральных чисел. Так как смысл результата деления зависит от смысла, приданного делителю, то рассмотрим оба возможных варианта.

Представим, что у нас есть некоторое количество предметов, скажем, a предметов, где a – любое натуральное число. Разложим эти предметы в a кучек так, чтобы в каждой кучке оказалось одинаковое количество предметов. Понятно, что при этом в каждой кучке окажется ровно один предмет.

Можно поставить вопрос и иначе: у нас есть a предметов и нам нужно разложить их в кучки по a предметов в каждой, сколько кучек при этом получится? Очевидно, кучка будет одна.

Эти рассуждения позволяют нам сформулировать свойство деления равных натуральных чисел: если натуральное число разделить на равное ему число, то в результате получится единица.

Запишем это свойство при помощи букв: a:a=1, где a – произвольное натуральное число.

Осталось привести пару примеров. Частное от деления натурального числа 405 на равное ему число 405 равно 1; результат деления 73 на 73 также равен 1.

Свойство деления натурального числа на единицу.

Подойти к свойству деления натурального числа на единицу нам помогут две следующие задачи.

Теперь поставим задачу так: у нас есть a предметов, и нам требуется разделить их на части, по одному предмету в каждой. Понятно, что исходное множество при этом будет разделено на a частей.

Можно задачу поставить и так: сколько предметов будет в кучке, если в нее сложить a имеющихся предметов. Очевидно, что количество предметов будет равно a.

Рассмотренные примеры приводят нас к свойству деления натурального числа на единицу: результатом деления данного натурального числа на единицу является это натуральное число.

Запишем сформулированное свойство деления в буквенном виде: a:1=a.

Приведем примеры. Частным от деления натурального числа 23 на 1 является число 23, а результатом деления натурального числа 10 388 на единицу является число 10 388.

Деление натуральных чисел не обладает переместительным свойством.

Если делимое и делитель являются равными натуральными числами, то в силу свойства деления равных натуральных чисел, рассмотренного в первом пункте этой статьи, мы можем поменять их местами. При этом результатом деления будет все то же натуральное число 1. Иными словами, если делимое и делитель являются равными натуральными числами, то в этом случае деление обладает переместительным свойством.

В остальных случаях, когда делимое и делитель не являются равными натуральными числами, переместительное свойство деления не имеет места. Поясним этот момент.

Когда мы говорили о смысле деления натуральных чисел, то нами было отмечено, что деление натуральных чисел не всегда возможно, в частности, меньшее натуральное число мы не можем разделить на большее (сейчас мы не говорим о делении натуральных чисел с остатком). Тогда, если натуральное число a можно разделить на натуральное число b, причем a не равно b, то b<a. При этом частное b:a не имеет смысла. Следовательно, делимое и делитель нельзя менять местами.

Итак, в общем случае деление натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством.

С помощью букв последнее утверждение записывается как a:b≠b:a, где a и b – некоторые натуральные числа, причем a≠b.

Свойство деления суммы двух натуральных чисел на натуральное число.

Чтобы свойство деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число стало совсем очевидно, достаточно рассмотреть следующую ситуацию.

Между детьми в группе решили поровну разделить фрукты, которые находятся в двух пакетах (будем считать, что натуральные числа, определяющее количества фруктов в пакетах, можно разделить на натуральное число, соответствующее количеству детей в группе). Для этого можно сначала сложить вместе фрукты из двух пакетов, после чего разделить и раздать их. А можно сначала разделить фрукты из первого пакета и раздать их детям, после чего разделить фрукты из второго пакета и раздать их. Понятно, что и в том и в другом случае у каждого ребенка окажется одно и то же количество фруктов.

Теперь мы можем привести формулировку рассматриваемого свойства: разделить сумму двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что сложить частные от деления каждого слагаемого на данное натуральное число.

Запишем это свойство деления с помощью букв. Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что a можно разделить на c и b можно разделить на c, тогда (a+b):c=a:c+b:c. В правой части записанного равенства в первую очередь выполняется деление, после чего – сложение (при необходимости просмотрите материал статьи порядок выполнения действий).

Приведем пример, подтверждающий справедливость свойства деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число. Покажем, что равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное. Сначала вычислим значение выражения из левой части равенства. Так как 18+36=54, то (18+36):6=54:6. Из таблицы умножения находим 54:6=9 (смотрите раздел теории деление при помощи таблицы умножения). Переходим к вычислению значения выражения 18:6+36:6. Из таблицы умножения имеем 18:6=3 и 36:6=6, поэтому 18:6+36:6=3+6=9. Следовательно, равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное.

Еще следует обратить внимание на тот факт, что это свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел позволяют выполнять деление суммы трех и большего количества натуральных чисел на данное натуральное число. Например, частное (14+8+4+2):2 равно сумме частных следующего вида 14:2+8:2+4:2+2:2.

Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число.

Аналогично предыдущему свойству формулируется свойство деления разности двух натуральных чисел на данное натуральное число: разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа.

С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a-b):c=a:c-b:c, где a, b и c – такие натуральные числа, что a больше или равно b, а также и a и b можно разделить на c.

В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45-25):5=45:5-25:5. Так как 45-25=20 (при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45-25):5=20:5. По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4. Теперь вычислим значение выражения 45:5-25:5, стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45:5=9 и 25:5=5, тогда 45:5-25:5=9-5=4. Следовательно, равенство (45-25):5=45:5-25:5 верно.

Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число.

Если увидеть связь между делением и умножением, то будет видно и свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, равное одному из множителей. Его формулировка такова: результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю. Приведем буквенный вид этого свойства деления: (a·b):a=b или (a·b):b=a, где a и b – некоторые натуральные числа.

Например, если разделить произведение чисел 2 и 8 на 2, то получим 8, а (3·7):7=3.

Теперь будем считать, что делитель не равен ни одному из множителей, образующих делимое. Сформулируем свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число для этих случаев. При этом будем считать, что хотя бы один из множителей можно разделить на данное натуральное число. Итак, разделить произведение двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель.

Озвученное свойство, мягко говоря, не очевидно. Но если вспомнить, что умножение натуральных чисел по сути является сложением некоторого количества равных слагаемых (об этом написано в разделе теории смысл умножения натуральных чисел), то рассматриваемое свойство следует из свойства деления суммы натуральных чисел на данное натуральное число.

Запишем это свойство с помощью букв. Пусть a, b и c – натуральные числа. Тогда, если a можно разделить на c, то справедливо равенство (a·b):c=(a:c)·b; если b можно разделить на c, то справедливо равенство (a·b):c=a·(b:c); а если и a, и b можно разделить на c, то имеют место оба равенства одновременно, то есть, (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c).

К примеру, в силу рассмотренного свойства деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число справедливы равенства (8·6):2=(8:2)·6 и (8·6):2=8·(6:2), которые можно записать в виде двойного равенства вида (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2).

Свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел.

Давайте разберем следующую ситуацию. Пусть нужно поровну разделить a призов между участниками b команд по c человек в каждой команде (будем считать, что натуральные числа a, b и c таковы, что указанное деление возможно провести). Как это можно сделать? Рассмотрим два случая.

• Во-первых, можно узнать общее количество участников (для этого нужно вычислить произведение b·c), после чего провести деление всех a призов на всех b·c участников. Математически этому процессу соответствует буквенное выражение a:(b·c).
• Во-вторых, a призов можно разделить на b команд, после чего полученное количество призов в каждой команде (оно будет равно частному a:b) разделить на c участников. Математически этот процесс описывается выражением (a:b):c.

Понятно, что и при первом и при втором варианте деления, каждый участник получит одно и то же количество призов. То есть, будет справедливо равенство вида a:(b·c)=(a:b):c, которое представляет собой буквенную запись свойства деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Следует заметить, что в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел полученное равенство можно записать в виде a:(b·c)=(a:c):b.

Осталось лишь привести формулировку рассматриваемого свойства деления: разделить натуральное число на произведение – это все равно что разделить это число на один из множителей, после чего полученное частное разделить на другой множитель.

Приведем пример. Покажем справедливость равенства 18:(2·3)=(18:2):3, что будет подтверждать свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Так как 2·3=6, то частное 18:(2·3) равно 18:6=3. Теперь вычислим значение выражения (18:2):3. Из таблицы умножения находим, что 18:2=9, а 9:3=3, тогда (18:2):3=3. Следовательно, 18:(2·3)=(18:2):3.

Свойство деления нуля на натуральное число.

Мы приняли условность, что число нуль (напомним, что нуль не относится к натуральным числам) означает отсутствие чего-либо. Таким образом, деление нуля на натуральное число – это есть деление «ничего» на несколько частей. Очевидно, что в каждой из полученных частей также будет «ничто», то есть нуль. Итак, 0:a=0, где a – любое натуральное число.

Полученное выражение представляет собой буквенную запись свойства деления нуля на натуральное число, которое формулируется так: результатом деления нуля на произвольное натуральное число является нуль.

К примеру, 0:105=0, а частное от деления нуля на 300 553 тоже равно нулю.

Натуральное число делить на нуль нельзя.

Почему же натуральное число нельзя делить на нуль? Давайте разберемся с этим.

Предположим, что некоторое натуральное число a можно разделить на нуль, и результатом деления является другое натуральное число b, то есть, справедливо равенство a:0=b. Если вспомнить о связи деления с умножением, то записанное равенство a:0=b означает справедливость равенства b·0=a. Однако свойство умножения натурального числа и нуля утверждает, что b·0=0. Сопоставление двух последних равенств указывает на то, что a=0, чего быть не может, так как мы сказали, что a – некоторое натуральное число. Таким образом, наше предположение о возможности деления натурального числа на нуль приводит к противоречию.

Итак, натуральное число нельзя делить на нуль.