Вычитание натуральных чисел столбиком, примеры, решения.
Вычитание натуральных чисел удобно проводить особым методом, который получил название вычитание столбиком или вычитание в столбик. Этот способ вычитания оправдывает свое название, так как уменьшаемое, вычитаемое и разность записываются в столбик. Промежуточные вычисления также проводятся в столбиках, соответствующих разрядам чисел.
Удобство вычитания натуральных чисел столбиком заключается в простоте вычислений. Вычисления сводятся к использованию таблицы сложения и применению свойств вычитания.
Давайте разберемся, как выполняется вычитание столбиком. Процесс вычитания будем рассматривать вместе с решением примеров. Так будет понятнее.
Что необходимо знать для вычитания столбиком?
Для вычитания натуральных чисел столбиком необходимо знать, во-первых, как выполняется вычитание с помощью таблицы сложения.
Во-вторых, при вычитании столбиком мы будем постоянно пользоваться свойством вычитания равных натуральных чисел a−a=0, а также следующими результатами a−0=a; 0−0=0, где a – произвольное натуральное число (они подробно рассмотрены в статье свойства вычитания целых чисел).
Наконец, не помешает повторить определение разряда натуральных чисел.
Вычитание столбиком на примерах.
Начнем с записи. Сначала записывается уменьшаемое. Под уменьшаемым располагается вычитаемое. Причем делается это так, что цифры оказываются одна под другой, начиная справа. Слева от записанных чисел ставится знак минус, а внизу проводится горизонтальная линия, под которой будет записан результат после проведения необходимых действий.
Приведем несколько примеров правильных записей при вычитании столбиком. Запишем в столбик разность 56−9, разность 3 004−1 670, а так же 203 604 500−56 777.
Итак, с записью разобрались.
Переходим к описанию процесса вычитания столбиком. Его суть заключается в последовательном вычитании значений соответствующих разрядов. Сначала вычитаются значения разряда единиц, далее – значения разряда десятков, далее – значения разряда сотен и т.д. Результаты записываются под горизонтальной линией на соответствующих местах. Число, которое образуется под линией после завершения процесса, является искомым результатом вычитания двух исходных натуральных чисел.
Представим схему, иллюстрирующую процесс вычитания столбиком натуральных чисел.
Приведенная схема дает общую картину вычитания натуральных чисел столбиком, однако она не отражает всех тонкостей. С этими тонкостями разберемся при решении примеров. Начнем с самых простых случаев, а дальше будем постепенно продвигаться к более сложным случаям, пока не разберемся со всеми нюансами, которые могут встретиться при вычитании столбиком.
Рекомендуем рассмотреть ВСЕ приведенные ниже примеры, так как в каждом следующем примере разбирается новая ситуация. В итоге Вы сможете легко вычитать столбиком любые натуральные числа.
Пример.
Для начала вычтем столбиком из числа 74 805 число 24 003.
Решение.
Запишем эти числа так, как этого требует метод вычитания столбиком:
Начинаем с вычитания значений разрядов единиц, то есть, вычитаем из числа 5 число 3. Из таблицы сложения имеем 5−3=2. Записываем полученные результат под горизонтальную черту в этом же столбике, в котором находятся числа 5 и 3:
Теперь вычитаем значения разряда десятков (в нашем примере они равны нулю). Имеем 0−0=0 (это свойство вычитания мы упоминали в предыдущем пункте). Записываем полученный нуль под линию в том же столбике:
Идем дальше. Вычитаем значения разряда сотен: 8−0=8 (по свойству вычитания, озвученному в предыдущем пункте). Теперь наша запись примет следующий вид:
Переходим к вычитанию значений разряда тысяч: 4−4=0 (это свойств вычитания равных натуральных чисел). Имеем:
Осталось вычесть значения разряда десятков тысяч: 7−2=5. Записываем полученное число под черту на нужное место:
На этом вычитание столбиком завершено. Число 50 802, которое получилось внизу, является результатом вычитания исходных натуральных чисел 74 805 и 24 003.
Рассмотрим следующий пример.
Пример.
Отнимем столбиком от числа 5 777 число 5 751.
Решение.
Делаем все так же, как в предыдущем примере – вычитаем значения соответствующих разрядов. После завершения всех шагов запись примет следующий вид:
Под чертой получили число, в записи которого слева находятся цифры 0. Если эти цифры 0 отбросить, то получим результат вычитания исходных натуральных чисел. В нашем случае отбрасываем две цифры 0, получившиеся слева. Имеем: разность 5 777−5 751 равна 26.
Идем дальше.
До этого момента мы вычитали натуральные числа, записи которых состоят из одинакового количества знаков. Сейчас на примере разберемся, как вычитаются столбиком натуральные числа, когда в записи уменьшаемого больше знаков, чем в записи вычитаемого.
Пример.
Вычтем из числа 502 864 число 2 330.
Решение.
Записываем уменьшаемое и вычитаемое в столбик:
По очереди вычитаем значения разряда единиц: 4−0=4; далее – десятков: 6−3=3; далее – сотен: 8−3=5; далее – тысяч: 2−2=0. Получаем:
Теперь, чтобы завершить вычитание столбиком, нам еще нужно вычесть значения разряда десятков тысяч, а дальше – значения разряда сотен тысяч. Но из значений этих разрядов (в нашем примере из чисел 0 и 5) нам вычитать нечего (так как вычитаемое число 2 330 не имеет цифр в этих разрядах). Как же быть? Очень просто – значения этих разрядов просто переписываются под горизонтальную линию:
На этом вычитание столбиком натуральных чисел 502 864 и 2 330 завершено. Разность равна 500 534.
Осталось рассмотреть случаи, когда на некотором шаге вычитания столбиком значение разряда уменьшаемого числа меньше, чем значение соответствующего разряда вычитаемого. В этих случаях приходится «занимать» из старших разрядов. Давайте разберемся с этим на примерах.
Пример.
Вычтем столбиком из числа 534 число 71.
Решение.
На первом шаге вычитаем из 4 число 1, получаем 3. Имеем:
На следующем шаге нам нужно вычитать значения разряда десятков, то есть, из числа 3 нужно вычесть число 7. Так как 3<7, то мы не можем выполнить вычитание этих натуральных чисел (вычитание натуральных чисел определяется лишь когда вычитаемое не больше, чем уменьшаемое). Что же делать? В этом случае мы берем 1 единицу из старшего разряда и «размениваем» ее. В нашем примере «размениваем» 1 сотню на 10 десятков. Чтобы наглядно отразить наши действия, поставим жирную точку над числом в разряде сотен, а над числом в разряде десятков запишем число 10, используя другой цвет. Запись примет следующий вид:
Прибавляем полученные после «размена» 10 десятков к 3 имеющимся десяткам: 3+10=13, и из этого числа вычитаем 7. Имеем 13−7=6. Это число 6 записываем под горизонтальной чертой на свое место:
Переходим к вычитанию значений разряда сотен. Здесь мы видим над числом 5 точку, которая означает, что из этого числа мы брали единицу «на размен». То есть, сейчас мы имеем не 5, а 5−1=4. От числа 4 больше ничего отнимать не нужно (так как исходное вычитаемое число 71 не содержит цифр в разряде сотен). Таким образом, под горизонтальную черту записываем число 4:
Итак, разность 534−71 равна 463.
Иногда при вычитании столбиком «разменивать» единицы из старших разрядов приходится несколько раз. В подтверждение этих слов разберем решение следующего примера.
Пример.
Отнимем от натурального числа 1 632 число 947 столбиком.
Решение.
На первом же шаге нам нужно вычесть из числа 2 число 7. Так как 2<7,то сразу приходится «разменивать» 1 десяток на 10 единиц. После этого из суммы 10+2 вычитаем число 7, получаем (10+2)−7=12−7=5:
На следующем шаге нам нужно вычесть значения разряда десятков. Мы видим, что над числом 3 стоит точка, то есть, мы имеем не 3, а 3−1=2. И от этого числа 2 нам нужно отнять число 4. Так как 2<4, то опять приходится прибегать к «размену». Но сейчас уже размениваем 1 сотню на 10 десятков. При этом имеем (10+2)−4=12−4=8:
Теперь вычитаем значения разряда сотен. Из числа 6 была занята единица на предыдущем шаге, поэтому имеем 6−1=5. От этого числа нам нужно отнять число 9. Так как 5<9, то нам нужно «разменять» 1 тысячу на 10 сотен. Получаем (10+5)−9=15−9=6:
Остался последний шаг. Из единицы в разряде тысяч мы занимали на предыдущем шаге, поэтому имеем 1−1=0. От полученного числа нам ничего больше отнимать не нужно. Это число и записываем под горизонтальную черту:
На этом вычитание столбиком завершено. После отбрасывания цифры 0, стоящей слева под чертой, получаем результат: 1 632−947=685.
Усложним пример.
Пример.
Вычислим столбиком разность 8 002−907.
Решение.
На первом шаге нам из числа 2 нужно вычесть число 7. Так как 2<7, то придется прибегать к «размену». У уменьшаемого числа 8 002 значения разрядов десятков и сотен равны нулю, так что разменивать придется сразу 1 тысячу. Так как 1 тысяча – это 10 сотен, то получаем:
Теперь размениваем 1 сотню на 10 десятков:
Наконец, 1 десяток размениваем на 10 единиц:
И только сейчас мы можем вычесть из суммы 10+2=12 число 7, получаем 12−7=5. Наша запись примет следующий вид:
На следующем шаге вычитания столбиком видим, что над числом 10 стоит точка, то есть, имеем 10−1=9. К этому числу прибавляем значение разряда десятков уменьшаемого числа 8 002 (то есть, нуль): 9+0=9, и от полученного числа вычитаем значение разряда десятков вычитаемого числа 907 (то есть, нуль): 9−0=9. Получаем:
На следующем шаге над числом 10 стоит точка, то есть, имеем 10−1=9. К этому числу прибавляем значение разряда сотен числа 8 002, после чего от полученного результата отнимаем значение разряда сотен числа 907, получаем (9+0)−9=9−9=0:
На последнем шаге вычитания столбиком исходных натуральных чисел видим лишь число 8, над которым стоит точка. В этом случае под горизонтальную черту записываем число 8−1=7:
Итак, искомая разность равна 7 095.
Ну вот мы и разобрали все нюансы, которые могут возникнуть при вычитании натуральных чисел столбиком.
В заключении приведем решение еще одного примера, но обойдемся без пояснений.
Пример.
Проведем вычитание столбиком двух натуральных чисел 51 038 628 и 999 531.
Решение.
Список литературы.
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.